재미로 보는 블로그
비트코인 난이도 조정: 2,016개 블록과 목표값 계산의 정확한 원리
비트코인 메인넷이 2,016블록마다 실제 소요 시간과 2주 목표를 비교해 작업증명 목표값을 바꾸는 공식, 4배 제한과 난이도의 역비례 관계를 설명합니다.
BMI 지수의 수학적 한계: 키가 클수록 비만이 과대평가될까?
BMI가 체중을 키의 제곱으로 나누는 이유와 동일한 체형을 3차원으로 확대할 때 큰 키의 BMI가 높아지는 원리를 계산합니다. 실제 인체 연구와 BMI의 정확한 한계도 함께 살펴봅니다.
볼츠만 엔트로피 공식 S=k ln W: 미시 상태의 수에 로그를 쓰는 이유
볼츠만 엔트로피 S=kB ln W의 뜻과 성립 조건, 미시 상태·거시 상태의 차이, 깁스 엔트로피와 열역학적 엔트로피의 연결을 계산으로 설명합니다.
불 대수와 전가산기: XOR·AND·OR 게이트로 2진수 덧셈을 만드는 원리
두 비트와 이전 자리의 올림수를 더하는 전가산기의 진리표, 합과 올림 출력의 불 대수 식, 반가산기 연결과 다비트 덧셈 회로를 설명합니다.
브라에스의 역설(Braess's Paradox): 새 도로가 교통 체증을 늘리는 네트워크 균형
교통 체증을 줄이려고 지름길을 만들었는데 모든 운전자의 통행시간이 늘어나는 브라에스의 역설을 4,000대 도로 모형, 워드롭 균형과 사회적 최적 계산으로 설명합니다.
숫자 0의 연산 규칙: 브라마굽타와 십진 자릿값 기수법의 역사
브라마굽타가 628년에 정리한 0의 덧셈·뺄셈·곱셈·나눗셈 규칙을 현대 수학과 비교하고, 0이 십진 자릿값 기수법에서 하는 역할을 설명합니다.
콜라츠 추측(3n+1 문제): 모든 자연수는 결국 1에 도달할까?
홀수에는 3n+1, 짝수에는 n/2를 반복하는 콜라츠 함수의 궤도와 정지 시간, 순환 문제, 계산 검증과 수학적 증명의 차이를 설명합니다.
콘웨이의 생명 게임: 8개 이웃 규칙으로 보편 계산이 가능한 이유
생명 게임의 탄생·생존·죽음 규칙과 정물, 진동자, 글라이더를 살펴보고 논리 게이트와 기억장치를 구성해 튜링 완전성을 얻는 과정을 설명합니다.
디피-헬만 키 교환 원리: 공개 채널에서 같은 비밀키를 만드는 계산
디피-헬만 키 교환이 모듈러 거듭제곱과 이산로그 문제로 공개 채널에서 공유 비밀을 만드는 원리, 인증과 KDF가 필요한 이유를 설명합니다.
드레이크 방정식: 은하계 외계 문명 수를 추정하는 7가지 요인의 곱
드레이크 방정식의 별 생성률, 행성 비율, 생명과 지능의 발생 비율, 탐지 가능한 기간을 차례로 곱하는 원리와 계산의 한계를 설명합니다.
EAN-13 바코드 검증: 홀수·짝수 자리와 체크디지트 계산법
EAN-13 바코드의 앞 12자리에서 홀수 자리 합과 짝수 자리 합의 3배를 더한 뒤 모듈로 10으로 체크디지트를 계산하고 검증하는 방법을 GS1 공식 예제로 설명합니다.
엘로 평점 시스템: 레이팅 차이를 예상 승률로 바꾸는 로지스틱 함수
두 플레이어의 엘로 레이팅 차이가 어떻게 예상 승률과 기대점수로 변환되는지 로지스틱 함수, K값, 승패별 평점 변화 사례를 이용해 계산합니다.
에라토스테네스의 지구 둘레 계산: 7.2° 그림자로 구한 25만 스타디아
에라토스테네스가 알렉산드리아와 시에네의 태양 그림자 각도 7.2°와 거리 5,000스타디아를 이용해 지구 둘레를 계산한 비례식, 가정과 오차를 설명합니다.
오일러 항등식 e^(iπ)+1=0: 테일러 급수로 복소 지수와 삼각함수를 잇는 계산
e^(ix)=cos x+i sin x를 지수·사인·코사인 급수로 유도하고 x=π를 대입해 오일러 항등식이 성립하는 과정을 복소평면과 함께 설명합니다.
고속 푸리에 변환(FFT): DFT의 O(N²) 계산을 O(N log N)으로 줄이는 분할 정복
이산 푸리에 변환을 짝수·홀수 항으로 나누는 Cooley–Tukey FFT의 계산 원리, 버터플라이 연산, 복잡도와 실제 사용 시 주의점을 단계별로 설명합니다.
빠른 역제곱근 알고리즘: 0x5f3759df와 뉴턴–랩슨법의 원리
퀘이크 3 코드로 유명해진 빠른 역제곱근이 IEEE 754 비트를 이용해 1/√x의 초깃값을 만들고 뉴턴–랩슨 1회로 정확도를 높이는 과정을 설명합니다.
피보나치 수열과 황금비: 인접 항의 비율이 1.618로 수렴하는 이유
피보나치 수열의 인접 항 비율 F(n+1)/F(n)이 황금비 ϕ로 수렴하는 과정을 비네 공식으로 확인하고, 주식 차트의 61.8% 되돌림 계산과 한계를 설명합니다.
피셔–예이츠 셔플: 모든 순열을 1/N! 확률로 만드는 무작위 배열 섞기
배열 뒤에서부터 미선택 구간의 임의 원소와 교환하는 피셔–예이츠 셔플이 왜 편향 없는지, 시간복잡도와 흔한 구현 오류를 계산으로 설명합니다.
4색 정리: 모든 평면 지도를 네 가지 색으로 칠할 수 있다는 컴퓨터 보조 증명
4색 정리를 평면 그래프의 정점 채색 문제로 바꾸는 방법부터 Appel과 Haken의 1976년 컴퓨터 보조 증명, 후속 검증까지 정확히 설명합니다.
퍼지 논리 연산: 0과 1 사이의 소속 함수로 애매한 조건을 계산하는 방법
퍼지 집합의 소속도, min·max·보수 연산, 퍼지 규칙과 추론·비퍼지화 과정을 예제로 설명하고 확률과의 차이를 정확히 구분합니다.
갈릴레오의 낙하 법칙: 낙하 거리가 시간의 제곱에 비례하는 이유
갈릴레오의 경사면 실험과 등가속도 운동을 바탕으로 자유 낙하 공식 s=½gt², 속도 v=gt, 홀수 거리 법칙과 공기 저항의 영향을 계산합니다.
도박사의 파산 문제(Gambler's Ruin): 승률 50%여도 결국 파산하는 이유
매번 이길 확률이 50%인 공정한 게임에서도 유한한 자본의 도박사가 무한한 자본의 카지노를 상대로 계속 게임하면 왜 파산 확률이 100%가 되는지 공식과 사례로 설명합니다.
게임 복잡도와 섀넌 수: 체스 10¹²⁰, 바둑 10³⁶⁰은 무엇을 세는가
체스의 섀넌 수 약 10¹²⁰과 바둑의 게임 트리 추정 약 10³⁶⁰을 상태 공간과 구분하고, 분기 계수와 게임 길이로 계산하는 원리를 설명합니다.
가우스의 등차수열 합: 1부터 n까지 더하면 n(n+1)/2가 되는 이유
첫 항과 끝 항을 짝지어 등차수열 합 S=n(a₁+aₙ)/2와 1+2+⋯+n=n(n+1)/2를 유도하고 홀수 n과 응용식을 설명합니다.