1부터 100까지 차례로 더하면 5,050입니다. 모든 항을 하나씩 누적하지 않아도 첫 수와 끝 수를 짝지으면 바로 계산할 수 있습니다. 1+100, 2+99, 3+98처럼 양끝을 묶으면 각 쌍의 합은 101이고 이런 쌍이 50개입니다. 일반적으로 1+2+⋯+n의 합은 n(n+1)/2입니다. 이 결과는 흔히 어린 가우스의 일화와 함께 소개되지만 공식 자체는 고대부터 알려진 등차수열의 성질입니다.
정방향과 역방향을 더하는 유도
S=1+2+3+⋯+(n-1)+n이라고 놓습니다. 같은 합을 거꾸로 S=n+(n-1)+(n-2)+⋯+2+1로 씁니다. 두 줄을 같은 위치끼리 더하면 모든 열이 n+1이고 열은 n개입니다. 따라서 2S=n(n+1), 양변을 2로 나누면 S=n(n+1)/2입니다.
S=1+2+⋯+n, 2S=(n+1)+(n+1)+⋯+(n+1)=n(n+1)
1+2+⋯+n=n(n+1)/2
n이 홀수여도 공식은 같습니다
n=9이면 바깥쪽 네 쌍 (1,9),(2,8),(3,7),(4,6)의 합이 각각 10이고 가운데 5가 남습니다. 4×10+5=45입니다. 공식은 9×10/2=45를 줍니다. 홀수일 때는 (n-1)/2개의 쌍과 가운데 (n+1)/2를 더하면 같은 식이 됩니다.
일반 등차수열 합 공식
첫 항 a₁, 공차 d, 항 수 n인 등차수열의 마지막 항은 aₙ=a₁+(n-1)d입니다. 정방향과 역방향을 더하면 각 열이 a₁+aₙ이고 열이 n개이므로 합은 n(a₁+aₙ)/2입니다.
Sₙ=n(a₁+aₙ)/2=n[2a₁+(n-1)d]/2
| 수열 | a₁ | d | n | 합 |
|---|---|---|---|---|
| 1,2,…,100 | 1 | 1 | 100 | 5,050 |
| 2,4,…,20 | 2 | 2 | 10 | 110 |
| 5,8,11,14,17 | 5 | 3 | 5 | 55 |
| 100,97,…,73 | 100 | -3 | 10 | 865 |
삼각형 점으로 보는 삼각수
첫째 줄에 점 1개, 둘째 줄에 2개, n째 줄에 n개를 놓으면 전체 점 수가 1+2+⋯+n입니다. 같은 삼각형 두 개를 뒤집어 붙이면 가로 n, 세로 n+1인 직사각형이 됩니다. 직사각형의 점 수 n(n+1)의 절반이 한 삼각형의 점 수이므로 공식이 다시 나옵니다. 이 수들을 삼각수라고 합니다.
n번째 삼각수 Tₙ=n(n+1)/2는 조합 C(n+1,2)와 같습니다. n+1명 중 두 명을 고르는 쌍의 수를, 두 번째 사람의 번호별로 세면 1+2+⋯+n이 되기 때문입니다. 도형, 수열, 조합이 같은 공식을 서로 다른 방식으로 설명합니다.
연속한 두 삼각수의 차이
Tₙ−Tₙ₋₁=n입니다. n번째 삼각형 점 배열은 바로 앞 배열에 점 n개인 새 줄을 붙여 만들기 때문입니다. 식으로 계산해도 n(n+1)/2−(n−1)n/2=n입니다. 따라서 삼각수의 차이를 차례로 적으면 1,2,3,…이 나오고, 반대로 자연수를 누적하면 삼각수가 됩니다.
두 삼각수를 더하면 제곱수가 되는 관계도 있습니다. Tₙ+Tₙ₋₁=n(n+1)/2+(n−1)n/2=n²입니다. 예를 들어 15와 10을 더하면 25입니다. 점 삼각형 두 개를 맞붙여 n×n 정사각형을 만드는 그림으로 같은 식을 확인할 수 있습니다.
임의 구간의 연속 정수 합
m부터 n까지의 합은 1부터 n까지의 합에서 1부터 m-1까지의 합을 빼면 됩니다. 항의 수는 n-m+1이고 첫 항과 끝 항의 평균은 (m+n)/2이므로 같은 답을 얻습니다.
m+(m+1)+⋯+n = [n(n+1)-(m-1)m]/2 = (n-m+1)(m+n)/2
평균×개수로 이해하기
등차수열은 양끝에서 같은 거리만큼 떨어진 두 항의 평균이 전체 평균과 같습니다. 첫 항과 마지막 항의 평균 (a₁+aₙ)/2에 항 수 n을 곱하면 합입니다. 이 설명은 짝짓기와 같은 계산을 평균의 언어로 바꾼 것입니다.
합에서 항의 개수를 역으로 구하기
1부터 n까지의 합 S가 주어졌다면 n(n+1)/2=S를 풀 수 있습니다. 이차방정식 n²+n−2S=0의 양의 해는 n=(√(8S+1)−1)/2입니다. 이 값이 양의 정수이면 S는 삼각수입니다. 예를 들어 S=5,050이면 8S+1=40,401=201²이므로 n=(201−1)/2=100입니다.
모든 S가 삼각수인 것은 아닙니다. S=20이면 8S+1=161이 완전제곱수가 아니어서 1부터 어떤 자연수까지의 합으로 정확히 나타낼 수 없습니다. 즉 8S+1이 홀수의 완전제곱수라는 조건은 S가 삼각수인지 판정하는 간단한 기준입니다.
마지막 항과 항 수를 먼저 확인해야 합니다
등차수열 문제에서 흔한 오류는 끝값을 항 수로 착각하는 것입니다. 첫 항 a₁, 마지막 항 aₙ, 공차 d가 주어지면 n=(aₙ−a₁)/d+1입니다. 이 값이 양의 정수가 되어야 마지막 항이 실제 수열에 포함됩니다. 4,7,10,…,100에서는 n=(100−4)/3+1=33이므로 합은 33×(4+100)/2=1,716입니다.
상한만 주어졌다면 그 이하인 마지막 항을 먼저 찾아야 합니다. 4에서 시작해 3씩 늘어나는 수열에서 상한이 99라면 99는 수열 항이 아니고 마지막 항은 97입니다. 이때 항 수는 (97−4)/3+1=32이고 합은 32×(4+97)/2=1,616입니다.
음의 공차와 실수 항에도 같은 공식이 적용됩니다
짝짓기 유도에는 항이 자연수이거나 증가한다는 조건이 필요하지 않습니다. 공차가 음수인 100,97,…,73도 첫 항과 끝 항을 더한 값이 모든 대응 쌍에서 173으로 같습니다. 항이 분수나 실수여도 덧셈과 곱셈이 정의되므로 Sₙ=n(a₁+aₙ)/2가 성립합니다.
다만 무한 등차급수에는 이 공식을 그대로 적용할 수 없습니다. 공차가 0이 아닌 등차수열의 항은 0으로 수렴하지 않으므로 무한합은 통상적인 의미에서 수렴하지 않습니다. 등차수열의 합 공식은 항 수 n이 유한한 경우를 다루는 공식입니다.
자연수 합으로 제곱수 관계 찾기
연속된 홀수의 합은 제곱수가 됩니다. 1+3+5+⋯+(2n-1)은 첫 항 1, 마지막 항 2n-1, 항 수 n인 등차수열이므로 n[1+(2n-1)]/2=n²입니다. 정사각형에 ㄴ자 모양의 홀수 개 점을 한 겹씩 추가하는 그림으로도 확인할 수 있습니다.
연속된 짝수 2+4+⋯+2n의 합은 n(2+2n)/2=n(n+1)입니다. 이는 자연수 합 1+⋯+n을 2배한 값과 같습니다. 공식을 외우기보다 첫 항·끝 항·항 수를 확인하면 여러 변형을 같은 원리로 계산할 수 있습니다.
수학적 귀납법으로 확인
n=1일 때 왼쪽 1과 오른쪽 1×2/2가 같습니다. n=k에서 합이 k(k+1)/2라고 가정하고 다음 항 k+1을 더하면 k(k+1)/2+(k+1)=(k+1)(k+2)/2입니다. 따라서 모든 양의 정수 n에 대해 공식이 성립합니다. 짝짓기 유도는 공식을 발견하는 구조를, 귀납법은 모든 n에 대한 성립을 형식적으로 확인합니다.
프로그램 계산과 오버플로
반복문은 O(n)번 덧셈하지만 공식은 일정한 수의 산술 연산으로 계산해 O(1)입니다. 다만 고정 길이 정수형에서 n(n+1)을 먼저 계산하면 최종 답이 범위 안이어도 중간 곱이 넘칠 수 있습니다. n과 n+1 중 짝수인 쪽을 먼저 2로 나눈 뒤 곱하거나 더 큰 정수형을 사용합니다.
부동소수점으로 매우 큰 n을 계산하면 결과가 표현 범위를 넘지 않더라도 마지막 몇 자리의 정수 정확도가 사라질 수 있습니다. IEEE 754 binary64는 모든 크기의 정수를 정확하게 담는 형식이 아닙니다. 정확한 합이 필요하면 언어가 제공하는 임의 정밀도 정수형을 쓰고 입력 n의 허용 범위를 먼저 검사하는 편이 안전합니다.
가우스 일화는 어떻게 다뤄야 하나
가우스가 어린 시절 교사가 낸 1부터 100까지의 합을 즉시 풀었다는 이야기는 여러 판본으로 전해집니다. 수학 공식의 타당성은 이 일화의 역사적 세부에 의존하지 않습니다. 등차수열 합은 가우스 이전 문헌에도 있었으므로 ‘가우스가 공식을 최초 발견했다’고 단정하기보다 짝짓기 방법을 널리 설명하는 일화로 구분하는 편이 정확합니다.
등차수열 합 핵심 정리
등차수열을 정방향과 역방향으로 나란히 쓰면 대응하는 두 항의 합이 언제나 a₁+aₙ입니다. 이런 열이 n개이므로 두 배의 합은 n(a₁+aₙ), 원래 합은 n(a₁+aₙ)/2입니다. 자연수 1부터 n까지는 a₁=1, aₙ=n이어서 n(n+1)/2가 됩니다.
같은 공식은 양끝 짝짓기, 평균×항 수, 삼각형 점 배열, 조합과 귀납법으로 확인할 수 있습니다. 계산에서는 항의 개수와 마지막 항을 정확히 구하고 큰 정수의 중간 곱 오버플로를 주의해야 합니다.