오일러 항등식 e^(iπ)+1=0에는 자연로그의 밑 e, 허수단위 i, 원주율 π, 덧셈의 항등원 0과 곱셈의 항등원 1이 한 줄에 등장합니다. 이 식은 서로 무관한 기호를 우연히 모은 문장이 아닙니다. 복소 지수함수와 삼각함수의 관계를 나타내는 오일러 공식 e^(ix)=cos x+i sin x에 x=π를 넣으면 바로 나옵니다. 그 연결은 지수·사인·코사인의 거듭제곱 급수를 비교하면 항별로 확인할 수 있습니다.
식에 등장하는 다섯 상수
- 0은 덧셈 항등원입니다. 어떤 수에 더해도 값이 바뀌지 않습니다.
- 1은 곱셈 항등원입니다. 어떤 수에 곱해도 값이 바뀌지 않습니다.
- e≈2.718281828…은 자연로그의 밑이며 지수함수의 미분값이 자기 자신이 되게 하는 상수입니다.
- i는 i²=-1을 만족하는 허수단위입니다.
- π≈3.141592654…는 원의 둘레와 지름의 비이고 라디안에서 반 바퀴의 각도입니다.
항등식의 핵심은 π를 각도로 읽는 데 있습니다. 라디안으로 π는 복소평면 단위원에서 반 바퀴 회전을 뜻합니다. 1에서 시작해 π만큼 회전하면 -1에 도착하므로 e^(iπ)=-1이고 양변에 1을 더하면 0이 됩니다.
실수 지수함수의 급수를 복소수까지 확장하기
지수함수는 모든 복소수 z에 대해 수렴하는 거듭제곱 급수로 정의할 수 있습니다. 계승 n!은 1부터 n까지의 곱이고 0!=1입니다.
e^z = Σₙ₌₀∞ zⁿ/n! = 1+z+z²/2!+z³/3!+…
z=ix를 대입하면 e^(ix)=1+ix+(ix)²/2!+(ix)³/3!+…가 됩니다. i의 거듭제곱은 i⁰=1, i¹=i, i²=-1, i³=-i, i⁴=1 순서로 네 번마다 반복됩니다. 이 주기를 이용해 실수인 항과 i가 붙은 항을 따로 모을 수 있습니다.
e^(ix)=1+ix-x²/2!-ix³/3!+x⁴/4!+ix⁵/5!-…
짝수 차수는 코사인, 홀수 차수는 사인이 됩니다
짝수 거듭제곱 항만 모으면 1-x²/2!+x⁴/4!-x⁶/6!+…이고, 홀수 거듭제곱에서 i를 묶으면 i(x-x³/3!+x⁵/5!-…)입니다. 두 괄호는 각각 코사인과 사인의 매클로린 급수입니다.
cos x = 1-x²/2!+x⁴/4!-x⁶/6!+…
sin x = x-x³/3!+x⁵/5!-x⁷/7!+…
따라서 e^(ix)=cos x+i sin x
NIST Digital Library of Mathematical Functions는 복소 변수 z에 대한 사인과 코사인의 매클로린 급수를 제시합니다. 이 급수들은 모든 유한한 복소수에서 수렴하므로 실수 x에 대해 위처럼 짝수항과 홀수항을 묶는 계산이 정당화됩니다. 오일러 공식은 몇 항만 쓴 근삿값이 아니라 무한급수로 정의된 함수들 사이의 정확한 항등식입니다.
x=π를 넣으면 왜 -1인가
오일러 공식에 x=π를 대입하면 e^(iπ)=cos π+i sin π입니다. 단위원에서 π 라디안은 양의 실수축에서 출발해 반시계 방향으로 반 바퀴 간 각도입니다. 그 점의 좌표는 (-1,0)이므로 cos π=-1, sin π=0입니다.
e^(iπ)=cos π+i sin π=-1+i·0=-1
e^(iπ)+1=0
여기서 π는 반드시 라디안 각도입니다. 180도와 π 라디안은 같은 회전을 나타내지만 지수함수 급수의 x에 단위 변환 없이 180을 넣으면 e^(180i)=cos 180+i sin 180이며, 180은 180라디안으로 해석됩니다. 오일러 공식 자체는 어떤 실수 x에도 성립하지만 삼각함수의 미분과 급수에서 각도는 라디안으로 측정합니다.
복소평면에서 e^(ix)는 회전입니다
복소수 a+bi는 평면의 점 (a,b)로 나타낼 수 있습니다. e^(ix)=cos x+i sin x의 실수부와 허수부는 (cos x,sin x)이므로 원점에서 거리가 √(cos²x+sin²x)=1입니다. x가 변하면 단위원 위를 움직입니다. x=0이면 1, x=π/2이면 i, x=π이면 -1, x=3π/2이면 -i, x=2π이면 다시 1입니다.
| x | cos x | sin x | e^(ix) | 단위원 위치 |
|---|---|---|---|---|
| 0 | 1 | 0 | 1 | 오른쪽 |
| π/2 | 0 | 1 | i | 위쪽 |
| π | -1 | 0 | -1 | 왼쪽 |
| 3π/2 | 0 | -1 | -i | 아래쪽 |
| 2π | 1 | 0 | 1 | 오른쪽으로 복귀 |
복소수를 e^(ix)에 곱하면 그 복소수의 크기는 그대로 두고 각도를 x만큼 회전시킵니다. 더 일반적으로 e^(a+ib)=e^a(cos b+i sin b)입니다. e^a가 크기를 늘리거나 줄이고 e^(ib)가 b만큼 회전시킵니다. 지수함수가 성장과 회전을 한 식에 담는 이유입니다.
미분방정식으로도 같은 공식을 확인할 수 있습니다
f(x)=e^(ix)는 f′(x)=if(x), f(0)=1을 만족합니다. 한편 g(x)=cos x+i sin x를 미분하면 g′(x)=-sin x+i cos x=i(cos x+i sin x)=ig(x)이고 g(0)=1입니다. 두 함수가 같은 초기값을 가진 같은 미분방정식의 해이므로 f(x)=g(x)입니다. 이 증명도 복소 지수와 회전의 연결을 보여 줍니다.
삼각함수를 복소 지수로 다시 표현하기
오일러 공식에 x와 -x를 각각 넣으면 e^(ix)=cos x+i sin x, e^(-ix)=cos x-i sin x입니다. 두 식을 더하거나 빼면 사인과 코사인을 복소 지수로 나타낼 수 있습니다.
cos x = (e^(ix)+e^(-ix))/2
sin x = (e^(ix)-e^(-ix))/(2i)
이 표현은 진동을 다룰 때 유용합니다. 사인과 코사인의 덧셈 공식을 복소 지수의 곱셈 법칙 e^(ix)e^(iy)=e^(i(x+y))로 정리할 수 있고, 미분과 적분도 지수함수 규칙을 이용해 계산할 수 있습니다. 푸리에 변환이 신호를 복소 지수 성분으로 분해하는 것도 같은 관계에 기반합니다.
드무아브르 공식과 n제곱
e^(ix)=cos x+i sin x의 양변을 정수 n제곱하면 e^(inx)=(cos x+i sin x)ⁿ입니다. 다시 오일러 공식을 적용하면 다음 드무아브르 공식이 나옵니다.
(cos x+i sin x)ⁿ=cos(nx)+i sin(nx)
이 식은 복소수를 거듭제곱할 때 크기는 n제곱하고 각도는 n배한다는 사실을 보여 줍니다. z=r(cos θ+i sin θ)=re^(iθ)라면 zⁿ=rⁿe^(inθ)입니다. 복소수의 n제곱근을 구하면 각도가 2π/n 간격으로 배치되는 이유도 여기서 나옵니다.
복소 로그에서는 여러 값이 나타납니다
e^(i(π+2πk))=-1은 모든 정수 k에 대해 성립합니다. 복소 지수는 2πi를 더해도 같은 값을 내므로 일대일 함수가 아닙니다. 따라서 복소 로그를 모든 곳에서 하나의 값으로 역함수화할 수 없고, -1의 로그는 i(π+2πk)처럼 여러 값을 가집니다. 주값 로그에서는 보통 편각 범위를 하나 정해 Log(-1)=iπ를 선택합니다.
이 다가성 때문에 실수 지수법칙을 복소 거듭제곱에 아무 조건 없이 적용하면 문제가 생길 수 있습니다. 오일러 항등식 e^(iπ)=-1 자체는 명확하지만, 양변에 복소 로그를 취하거나 복소수의 거듭제곱을 다시 정의할 때는 가지(branch) 선택을 밝혀야 합니다.
유한한 급수로 직접 근사해 보기
e^(iπ)의 급수를 유한 항까지만 계산하면 실수부는 cos π의 부분합, 허수부는 sin π의 부분합입니다. 처음에는 항의 크기가 커졌다가 계승이 빠르게 증가하면서 항이 작아집니다. 충분히 더하면 실수부는 -1에, 허수부는 0에 가까워집니다. 유한 항 계산은 근사이지만 무한급수의 극한은 정확히 -1입니다.
부동소수점 프로그램에서 sin(π)를 계산하면 정확한 0 대신 1.22×10^-16 정도의 작은 값이 나올 수 있습니다. 저장된 π가 무한소수의 근삿값이고 삼각함수 계산에도 반올림이 있기 때문입니다. 이는 오일러 항등식이 근사식이라는 뜻이 아니라 유한 정밀도 계산의 오차입니다.
자주 생기는 오해
- i는 막연한 기호가 아니라 i²=-1을 만족하도록 확장한 수 체계의 원소입니다.
- e^(iπ)는 e와 iπ를 곱한 값이 아닙니다. 복소 지수함수에 iπ를 넣은 값입니다.
- 오일러 항등식은 수치 근사가 아니라 함수 정의 아래에서 정확한 등식입니다.
- 각도 x는 라디안으로 해석해야 급수와 미분 공식이 그대로 성립합니다.
- 복소 로그와 복소 거듭제곱에는 가지 선택이 필요하므로 실수에서의 변형을 무조건 옮기면 안 됩니다.
오일러 항등식 핵심 정리
복소 지수의 급수 e^z=Σzⁿ/n!에 z=ix를 넣으면 i의 거듭제곱이 네 항마다 반복됩니다. 짝수 차수의 실수부는 cos x의 급수, 홀수 차수에서 i를 뺀 부분은 sin x의 급수가 됩니다. 따라서 e^(ix)=cos x+i sin x입니다. x=π일 때 단위원 좌표가 (-1,0)이므로 e^(iπ)=-1이고 e^(iπ)+1=0입니다.
이 관계는 복소 지수의 곱셈을 평면 회전으로 해석하게 하고 삼각함수, 미분방정식, 푸리에 해석을 한 언어로 연결합니다. 항등식의 짧은 모양 뒤에는 지수함수의 급수, i의 순환, 라디안 각도와 단위원의 기하가 정확히 맞물려 있습니다.