에라토스테네스의 지구 둘레 계산: 7.2° 그림자로 구한 25만 스타디아

기원전 3세기 에라토스테네스는 지구를 한 바퀴 돌지 않고도 그 둘레를 계산했습니다. 전통적으로 전해지는 계산에는 두 도시 사이 거리 5,000스타디아와 태양 그림자로 얻은 각도 7.2°가 쓰입니다. 7.2°는 원 한 바퀴 360°의 정확히 50분의 1이므로, 두 도시 사이의 지표면 거리도 지구 둘레의 50분의 1이라고 보았습니다.

360° : 7.2° = 지구 둘레 : 5,000스타디아

지구 둘레 = 5,000 × (360÷7.2) = 250,000스타디아

계산 자체는 간단하지만 성립하려면 지구가 거의 구형이고, 태양 광선이 지구에 도달할 때 서로 평행하며, 두 도시가 대체로 같은 자오선 위에 있다는 가정이 필요합니다. 또 5,000스타디아가 두 도시 사이의 남북 방향 호 길이를 잘 나타내야 합니다. 이 글에서는 비례식의 원리와 함께 역사 자료의 차이, 스타디아 단위의 불확실성까지 구분해 살펴봅니다.

에라토스테네스는 누구였나요?

에라토스테네스는 기원전 3세기에 활동한 그리스 학자입니다. 수학, 천문학과 지리학을 연구했고 알렉산드리아 도서관과도 깊이 관련되어 있었습니다. 지구 둘레 측정은 그의 가장 널리 알려진 업적 가운데 하나입니다.

중요한 역사적 주의점이 있습니다. 에라토스테네스가 직접 쓴 지구 측정 저술은 온전히 남아 있지 않습니다. 오늘날 널리 소개되는 실험 과정은 후대 저자 클레오메데스의 설명을 중심으로 복원한 것입니다. 스트라본 등 다른 고대 저자들도 결과를 전하지만 수치와 설명에는 차이가 있습니다. 따라서 막대기와 우물에 관한 익숙한 이야기를 에라토스테네스의 원문 그대로라고 단정해서는 안 됩니다.

두 도시와 하지 정오의 태양

전해지는 설명에서 기준이 되는 도시는 이집트 북쪽의 알렉산드리아와 남쪽의 시에네입니다. 시에네는 오늘날 아스완에 해당합니다. 하지 무렵 정오에 시에네에서는 태양이 거의 머리 위에 있어 수직 물체가 매우 짧은 그림자를 만들거나 깊은 우물 바닥까지 햇빛이 든다고 알려져 있었습니다.

같은 시각 알렉산드리아에서는 수직 막대가 그림자를 만들었습니다. 수직 방향과 태양 광선 사이의 각도를 측정하면 약 7.2°, 즉 7° 12′로 표현할 수 있습니다. 이 값은 원 전체의 1/50입니다.

7.2° ÷ 360° = 0.02 = 1/50

그림자 각도가 지구 중심각과 같아지는 이유

태양은 지구보다 매우 멀리 있으므로 알렉산드리아와 시에네에 도달하는 태양 광선을 서로 평행하다고 근사할 수 있습니다. 각 도시에서 세운 수직선은 지구 중심을 향하는 반지름 방향으로 생각합니다. 시에네에서 태양 광선과 수직선이 나란하고 알렉산드리아에서 둘 사이의 각도가 7.2°라면, 두 도시를 향하는 지구 반지름 사이의 중심각도 7.2°가 됩니다.

평행선에 한 직선이 교차할 때 생기는 엇각 관계를 이용하면 이해하기 쉽습니다. 두 도시의 수직선은 지구 중심에서 만나고, 태양 광선은 평행합니다. 알렉산드리아에서 측정한 태양의 천정 거리와 지구 중심에서 본 두 도시의 각이 같아집니다. 막대의 그림자로 지구 내부의 중심각을 간접 측정한 셈입니다.

호의 길이와 중심각의 비례식

같은 원에서 호의 길이는 그 호가 만드는 중심각에 비례합니다. 중심각이 360°이면 호는 원 전체 둘레이고, 중심각이 180°이면 반원 길이입니다. 중심각이 7.2°라면 해당 호의 길이는 전체 둘레의 7.2/360입니다.

호의 길이 ÷ 원둘레 = 중심각 ÷ 360°

알렉산드리아와 시에네 사이의 남북 방향 거리를 s, 지구 둘레를 C, 중심각을 θ라고 하면 `s/C=θ/360°`입니다. 이를 C에 관해 정리하면 다음 일반식을 얻습니다.

C = s × 360°/θ

이 공식은 단위가 무엇이든 성립합니다. s를 스타디아로 넣으면 C도 스타디아로 나오고, s를 km로 넣으면 C도 km로 나옵니다. 각도는 분자와 분모에서 같은 도 단위를 사용해야 합니다.

7.2°와 5,000스타디아로 계산하는 과정

전승된 값 θ=7.2°와 s=5,000스타디아를 공식에 넣습니다. 먼저 360을 7.2로 나누면 50입니다. 두 도시 사이의 호가 지구 한 바퀴의 50분의 1이므로, 호 길이 5,000스타디아를 50배 하면 됩니다.

360° : 7.2° = C : 5,000

360/7.2 = C/5,000 → C = 250,000스타디아

비례식의 양쪽 순서를 맞추는 것이 중요합니다. 전체 각도 360°에는 전체 둘레 C가 대응하고, 부분 각도 7.2°에는 부분 호 길이 5,000스타디아가 대응합니다. `360:7.2=C:5,000`과 `7.2:360=5,000:C`는 같은 관계지만, 항을 뒤섞으면 100분의 1 크기의 잘못된 답이 나올 수 있습니다.

지구 반지름도 함께 구할 수 있다

원의 둘레와 반지름 관계는 C=2πr입니다. 지구 둘레를 250,000스타디아로 두면 반지름 r은 약 39,789스타디아입니다.

r = C/(2π) = 250,000/(2π) ≈ 39,789스타디아

스타디아를 km로 바꾸지 않아도 둘레와 반지름의 비는 계산할 수 있습니다. 다만 현대 단위의 반지름을 얻으려면 당시 사용한 스타디아가 몇 m였는지를 정해야 합니다. 바로 이 환산에서 역사적 불확실성이 생깁니다.

250,000과 252,000스타디아는 왜 함께 등장할까

클레오메데스의 설명을 따른 단순 계산은 250,000스타디아입니다. 반면 스트라본이 전한 수치에는 252,000스타디아가 나타납니다. Nature의 역사 해설도 클레오메데스는 250,000, 스트라본은 252,000을 전한다고 정리합니다.

252,000은 360으로 나누면 한 도당 정확히 700스타디아가 됩니다. 250,000을 360으로 나누면 약 694.44스타디아입니다. 그래서 계산 편의를 위해 252,000으로 조정했다는 설명이 널리 제시되지만, 에라토스테네스의 원 저술이 남지 않아 조정 과정과 의도를 확정적으로 단정하기는 어렵습니다.

스타디아는 몇 m였을까

스타디온 또는 스타디아는 고대의 길이 단위입니다. 문제는 지역과 시대에 따라 실제 길이가 같지 않았다는 점입니다. 에라토스테네스가 사용한 스타디아의 정확한 현대 환산값을 두고도 학술적 논의가 이어집니다. 그러므로 ‘250,000스타디아는 정확히 몇 km’라는 질문에는 선택한 환산 기준을 함께 밝혀야 합니다.

표는 단위 선택이 최종 평가를 크게 바꾼다는 사실을 보여 줍니다. 157.5 m를 적용하면 현대의 약 40,000 km와 가깝지만, 185 m를 적용하면 결과가 더 커집니다. 따라서 에라토스테네스가 현대값과 몇 퍼센트 차이였는지를 말할 때는 어떤 스타디아를 썼는지 먼저 확인해야 합니다.

현대의 지구 둘레와 비교할 때 주의할 점

지구는 완전한 구가 아니라 적도 부분이 약간 부푼 회전타원체에 가깝습니다. NASA 자료는 적도 반지름 약 6,378.137 km, 극 반지름 약 6,356.752 km를 제시합니다. 따라서 어떤 방향으로 한 바퀴를 재는지에 따라 둘레가 달라집니다. 적도 둘레는 약 40,075 km이고, 극을 지나는 자오선 둘레는 약 40,008 km입니다.

알렉산드리아와 시에네를 잇는 측정은 남북 방향의 자오선 호를 이용하므로 적도 둘레보다는 자오선 둘레와 비교하는 편이 개념상 알맞습니다. 다만 고대 계산에서는 지구를 구로 근사했으므로 적도 둘레와 자오선 둘레를 따로 구분하지 않았습니다.

계산이 성립하기 위한 다섯 가지 가정

1. 지구를 원 또는 구로 근사할 수 있어야 합니다.
2. 두 도시에 도달하는 태양 광선이 서로 평행하다고 볼 수 있어야 합니다.
3. 시에네에서 기준 시각의 태양이 거의 천정에 있어야 합니다.
4. 알렉산드리아와 시에네가 대체로 같은 자오선 위에 있어야 합니다.
5. 5,000스타디아가 두 도시 사이의 자오선 방향 호 길이를 정확히 나타내야 합니다.

현실의 두 도시는 정확히 같은 경도에 있지 않고, 시에네도 이상적인 조건과 완전히 일치하지 않습니다. 도시 사이의 실제 이동 거리와 자오선 호 길이도 다를 수 있습니다. 고대의 관측값과 거리값에는 반올림이 포함되었을 가능성이 큽니다. 이런 오차가 일부 상쇄될 수도 있으므로 최종 숫자가 현대값과 가깝다는 사실만으로 모든 입력값이 매우 정확했다고 결론 내릴 수는 없습니다.

막대와 그림자로 7.2°를 구하는 법

수직 막대의 높이를 h, 그림자 길이를 x라고 하면 태양 광선과 수직선 사이 각도 θ는 직각삼각형의 탄젠트로 구할 수 있습니다.

tan θ = x/h → θ = arctan(x/h)

예를 들어 막대가 1 m이고 그림자가 약 0.1263 m라면 `arctan(0.1263)≈7.2°`입니다. 막대가 두 배인 2 m라면 같은 태양 각도에서 그림자도 약 0.2526 m가 됩니다. 중요한 것은 절대 길이가 아니라 그림자 길이와 막대 높이의 비율입니다.

막대가 기울어져 있거나 지면이 수평이 아니면 각도에 오차가 생깁니다. 정오 시각도 시계의 12시가 아니라 태양이 그날 자오선을 통과해 가장 높이 올라오는 태양 정오를 기준으로 해야 합니다. 현대에 실험을 재현할 때는 두 장소에서 같은 날의 태양 고도를 비교하면 한 장소에서 태양이 정확히 천정에 올 필요가 없습니다.

두 장소에서 모두 그림자가 생겨도 계산할 수 있다

한 도시의 태양 천정 거리가 θ₁이고 다른 도시가 θ₂라면 두 도시의 위도 차에 해당하는 중심각은 이상적인 같은 자오선 조건에서 `|θ₁−θ₂|`입니다. 이 각도 차와 두 도시 사이의 자오선 호 길이를 사용하면 같은 공식으로 둘레를 구할 수 있습니다.

C = 거리 × 360° ÷ |θ₁−θ₂|

예를 들어 각도 차가 9°이고 남북 방향 거리가 1,000 km라면 9°는 360°의 1/40이므로 둘레는 40,000 km입니다. 이 방식은 에라토스테네스의 핵심 원리를 오늘날 두 학교나 두 도시에서 재현할 때 자주 쓰입니다.

거리와 각도 오차는 결과에 어떻게 반영될까

공식 C=s×360/θ에서 거리를 1% 크게 측정하면 다른 조건이 같을 때 둘레도 1% 크게 나옵니다. 반대로 각도를 1% 크게 측정하면 θ가 분모에 있으므로 둘레는 약 1% 작게 나옵니다. 거리와 각도의 오차가 서로 반대 방향이면 일부 상쇄될 수 있고, 같은 방향으로 결과를 밀면 오차가 커질 수 있습니다.

7.2° 대신 7.0°를 넣고 거리를 그대로 5,000스타디아로 두면 둘레는 약 257,143스타디아가 됩니다. 각도 차이는 0.2°뿐이지만 결과는 약 2.86% 커집니다. 작은 각도를 사용하는 측정에서는 그림자 끝 위치, 막대의 수직 상태와 측정 시각을 세심하게 관리해야 합니다.

비례식은 종이 규격과 축척 계산에도 쓰인다

에라토스테네스의 계산은 부분과 전체의 비율을 맞추는 문제입니다. 같은 원에서 각도가 50분의 1이면 호 길이도 50분의 1이라는 닮음과 비례의 사고가 핵심입니다. A4 용지가 반으로 나뉘어도 1:√2 비율을 유지하는 계산도 형태는 다르지만 비율을 방정식으로 세운다는 공통점이 있습니다.

측정 대상에 직접 닿기 어려울 때 각도와 알려진 길이로 전체 크기를 구하는 방식은 측량의 기본 원리로 이어집니다. 와인 통의 치수에서 부피를 계산하고 극값을 찾는 케플러의 와인 배럴과 부피 최적화 역시 현실의 물체를 기하학 모형으로 바꾼 사례입니다.

지구와 달의 거리를 비교할 때도 기준이 중요하다

지구 둘레 약 40,000 km는 지구와 달 사이 평균 거리 384,400 km의 약 10분의 1입니다. 종이를 42번 접으면 이론상 달 거리를 넘는 지수 증가 계산에서는 지구–달의 평균 중심 거리를 비교 기준으로 사용합니다. 지구 둘레, 반지름, 지표면 사이 거리와 천체 중심 사이 거리는 서로 다른 양이므로 숫자만 비슷하다고 같은 기준으로 다루면 안 됩니다.

계산에서 자주 생기는 오류

• 7.2°를 360°의 5분의 1로 잘못 읽습니다. 실제로는 50분의 1입니다.
• 부분 각도와 전체 둘레, 전체 각도와 부분 거리를 서로 엇갈리게 대응시킵니다.
• 250,000스타디아를 환산하면서 사용한 스타디아 길이를 밝히지 않습니다.
• 250,000과 252,000스타디아가 서로 다른 고대 기록에 나타난다는 점을 무시합니다.
• 알렉산드리아와 시에네가 정확히 같은 자오선에 있었다고 단정합니다.
• 지구를 완전한 구로 본 고대 모형과 현대의 회전타원체 모형을 구분하지 않습니다.
• 남북 방향 측정 결과를 비교하면서 적도 둘레와 자오선 둘레의 차이를 설명하지 않습니다.

에라토스테네스 지구 둘레 FAQ

7.2°는 왜 50분의 1인가요?

360÷7.2=50이기 때문입니다. 반대로 7.2÷360=0.02이며 분수로는 1/50입니다. 따라서 7.2°에 해당하는 호가 5,000스타디아라면 전체 360°의 둘레는 50배인 250,000스타디아입니다.

지구 둘레는 250,000스타디아인가요, 252,000스타디아인가요?

후대 문헌이 두 수치를 모두 전합니다. 7.2°와 5,000스타디아를 직접 비례 계산하면 250,000스타디아입니다. 스트라본을 비롯한 자료에는 252,000스타디아가 전하며, 이 값은 1°당 700스타디아로 나누어떨어집니다. 원 저술이 남아 있지 않으므로 두 값의 관계를 설명할 때 사료 차이를 밝혀야 합니다.

에라토스테네스는 지구가 둥글다는 사실도 처음 발견했나요?

아닙니다. 지구가 구형이라는 생각과 논증은 에라토스테네스 이전에도 존재했습니다. 그의 업적은 구형 지구를 전제로 관측 각도와 지표면 거리를 결합해 크기를 정량적으로 추정한 데 있습니다.

스타디아를 정확히 km로 바꿀 수 있나요?

하나의 확정 환산값을 적용하기 어렵습니다. 고대 스타디아는 지역과 기준에 따라 길이가 달랐고, 에라토스테네스가 사용한 단위의 길이에 관한 학술적 견해도 일치하지 않습니다. km 값에는 반드시 가정한 1스타디아의 길이를 함께 표시해야 합니다.

한 도시에서만 그림자를 재도 되나요?

다른 도시에서 같은 시각 태양이 정확히 천정에 온다는 기준이 있거나 두 도시의 태양 각도 차를 별도로 알고 있어야 합니다. 한 장소의 그림자 각도만으로는 그 장소의 위도와 지구 둘레를 동시에 결정할 수 없습니다. 둘레 계산에는 알려진 호 길이와 그 호에 대응하는 중심각이 모두 필요합니다.

에라토스테네스 지구 둘레 계산 핵심 정리

전통적으로 전해지는 에라토스테네스의 계산은 알렉산드리아와 시에네 사이 거리 5,000스타디아가 지구 중심각 7.2°에 대응한다는 데서 시작합니다. 호의 길이와 중심각은 같은 원에서 비례하므로 `C=5,000×360/7.2`이고, 결과는 250,000스타디아입니다. 7.2°가 360°의 1/50이어서 도시 사이 거리를 50배 한 것입니다.

이 계산은 평행한 태양 광선, 거의 구형인 지구, 대체로 같은 자오선에 놓인 두 도시와 정확한 거리라는 가정에 의존합니다. 후대 문헌에는 252,000스타디아도 전하며, 스타디아의 현대 길이도 확정되지 않았습니다. 따라서 방법의 기하학과 역사적 수치의 불확실성을 함께 이해해야 합니다. 단순한 그림자 하나가 지구 규모의 길이로 이어진 이유는 부분 호의 각도와 길이를 전체 원에 정확히 비례시켰기 때문입니다.

참고 자료

• NASA Imagine the Universe, Eratosthenes and the Size of the Earth
• American Physical Society, Eratosthenes Measures Earth
• Mathematical Association of America, Eratosthenes and the Mystery of the Stades
• Nature, Eratosthenes and the Circumference of the Earth
• NASA Earth Fact Sheet
• NOAA, Geodesy for the Layman
• PAGASA, 지구 적도·자오선 둘레 자료