뜨거운 물체가 내보내는 빛을 파장별로 측정하면 세기는 한 지점에서 가장 크고 짧은 파장과 긴 파장 양쪽에서 작아집니다. 19세기 말의 고전물리학은 긴 파장 영역을 설명했지만 짧은 파장으로 갈수록 에너지가 끝없이 커진다는 잘못된 예측을 내놓았습니다. 플랑크 복사 법칙은 진동자의 에너지가 연속이 아니라 hν의 정수배로 교환된다고 두어 측정된 스펙트럼을 설명했습니다.
에너지 준위 Eₙ=nhν, 플랑크 분포 Bν(T)=2hν³/c² · 1/[exp(hν/kT)−1]
흑체 복사와 분광복사휘도
흑체는 들어오는 복사를 모두 흡수하는 이상적인 물체입니다. 열평형에 있는 공동의 작은 구멍은 흑체에 가까운 복사를 냅니다. Bν(T)는 단위 면적, 단위 입체각, 단위 주파수 구간에서 나오는 분광복사휘도이며 단위는 W·m⁻²·sr⁻¹·Hz⁻¹입니다. 주파수 구간 dν의 에너지를 합하려면 Bνdν를 적분합니다.
주파수 표현과 파장 표현은 단순히 ν=c/λ만 바꿔 넣으면 끝나지 않습니다. Bνdν=Bλ|dλ|여야 하므로 야코비안 |dν/dλ|=c/λ²가 붙습니다. 그 결과 Bλ(T)=2hc²/λ⁵·1/[exp(hc/(λkT))−1]입니다. Bν의 최대 주파수를 c로 나눈 값과 Bλ의 최대 파장은 서로 정확한 역수가 아닙니다.
고전 이론은 왜 발산했을까
공동 안 전자기장의 정상모드를 세면 단위 부피·단위 주파수당 모드 수는 주파수의 제곱 ν²에 비례합니다. 고전적인 에너지 등분배 법칙은 각 모드가 평균 kT의 에너지를 가진다고 봅니다. 두 결과를 곱하면 레일리-진스 에너지 밀도 uν=8πν²kT/c³가 나옵니다.
이 식은 낮은 주파수에서는 실험과 맞지만 ν가 커질수록 ν²로 증가합니다. 0부터 무한대까지 적분한 ∫uνdν는 발산하므로 유한한 온도의 공동이 무한한 복사 에너지를 가져야 한다는 모순이 생깁니다. 이를 자외선 파탄이라고 부릅니다. 다만 이 명칭과 레일리-진스식의 역사적 정리는 플랑크의 1900년 연구 뒤에 자리 잡았으므로, 플랑크가 오늘날 교과서식 ‘자외선 파탄’ 문구를 보고 출발했다고 설명하면 시대를 단순화한 것입니다.
Eₙ=nhν가 바꾼 평균에너지
플랑크는 주파수 ν인 진동자가 에너지를 0,hν,2hν,3hν,…처럼 이산적인 값으로 교환한다고 두었습니다. n은 0 이상의 정수이고 h는 플랑크 상수입니다. 온도 T에서 에너지 Eₙ을 가질 상대확률은 볼츠만 인자 exp(−Eₙ/kT)에 비례합니다.
분배함수는 Z=Σₙ₌₀∞exp(−nhν/kT)=1/[1−exp(−hν/kT)]인 기하급수입니다. 평균에너지 Ū=−∂lnZ/∂(1/kT)를 계산하면 hν/[exp(hν/kT)−1]이 됩니다. 영점에너지 hν/2는 열복사 분포의 온도 의존 부분을 계산하는 이 초기 식에는 들어가지 않습니다.
모드당 평균 열에너지 = hν/[exp(hν/kT)−1]
hν≪kT인 낮은 주파수에서는 exp(x)−1≈x이므로 평균에너지가 kT에 가까워지고 레일리-진스 법칙을 되찾습니다. 반대로 hν≫kT인 높은 주파수에서는 분모가 exp(hν/kT)처럼 커져 평균에너지가 지수적으로 작아집니다. 모드 수가 ν²로 늘어도 지수 감소가 더 빠르므로 총에너지 적분이 수렴합니다.
플랑크 공식이 나오는 곱셈
단위 부피·단위 주파수당 전자기 모드 수 8πν²/c³에 모드당 평균에너지를 곱하면 uν(T)=8πhν³/c³·1/[exp(hν/kT)−1]이 됩니다. 등방 복사에서 복사휘도는 에너지 밀도와 Bν=cuν/(4π) 관계를 가지므로 Bν=2hν³/c²·1/[exp(hν/kT)−1]을 얻습니다.
공식의 분자는 주파수가 올라갈 때 모드 수와 양자 에너지가 늘어나는 효과를 담고, 분모의 지수함수는 높은 에너지 양자가 열적으로 점유되기 어려운 효과를 담습니다. 이 두 변화의 경쟁 때문에 스펙트럼에는 유한한 최대점이 생깁니다.
모든 파장을 적분하면 무엇이 나오나
표면이 반구 방향으로 내보내는 파장별 복사출력 Mλ는 πBλ입니다. 이를 λ=0부터 무한대까지 적분하면 M=σT⁴가 됩니다. 변수 x=hc/(λkT)를 사용하면 온도 항 T⁴가 적분 밖으로 나오고 ∫₀∞x³/(eˣ−1)dx=π⁴/15가 남습니다.
σ=2π⁵k⁴/(15h³c²), 따라서 ∫₀∞Mλdλ=σT⁴
즉 플랑크 분포는 파장별 모양을 설명하고, 전체를 적분하면 슈테판-볼츠만 법칙의 T⁴ 복사출력을 재현합니다. 최대점을 미분하면 빈의 변위 법칙도 얻습니다. 서로 별개로 보이는 흑체 복사 법칙들이 플랑크 공식 안에서 연결됩니다.
플랑크 상수와 현대 SI
플랑크 상수 h는 현재 정확히 6.62607015×10⁻³⁴J·s로 정의됩니다. 주파수와 곱하면 J가 되므로 hν는 에너지입니다. 2019년 SI 개정 뒤에는 h의 고정값이 킬로그램 정의에도 사용됩니다. 플랑크의 흑체 연구에서 등장한 상수가 오늘날 질량 단위의 토대가 된 셈입니다.
빛을 전자기파로 설명하는 고전 이론 자체가 사라진 것은 아닙니다. 맥스웰 방정식에서 유도되는 전자기파 속도는 여전히 플랑크 식의 c에 들어갑니다. 양자화는 고전 전자기장의 전파 관계를 버린 것이 아니라 에너지 교환과 통계적 점유에 새로운 규칙을 더했습니다.
E=hν와 Eₙ=nhν의 구분
현대적으로 광자 하나의 에너지는 E=hν라고 씁니다. Eₙ=nhν는 같은 주파수 모드에 에너지 양자 n개가 있을 때의 에너지입니다. n=3이면 광자 하나가 3hν의 에너지를 가진다는 뜻이 아니라 같은 주파수 양자 세 개의 총에너지가 3hν라는 뜻으로 읽어야 합니다.
온도가 오르면 스펙트럼은 어떻게 바뀔까
플랑크 식에서 온도가 높아지면 모든 파장에서 복사휘도가 커지고 최대점은 더 짧은 파장 쪽으로 이동합니다. 파장 표현의 최대점은 빈의 변위 법칙 λmaxT=b를 따르며 b는 약 2.898×10⁻³m·K입니다. 예를 들어 3,000K 흑체의 λmax는 약 966nm이고 6,000K에서는 약 483nm입니다. 이는 최대점의 위치에 관한 식이며 물체가 최대 파장 하나만 방출한다는 뜻은 아닙니다. 흑체는 넓은 연속 스펙트럼을 냅니다.
또한 실제 물체는 파장별 방사율이 1보다 작고 물질에 따라 달라 완전한 흑체 곡선과 차이가 납니다. 플랑크 법칙은 열평형 흑체의 기준 분포이고, 실제 복사는 분광 방사율을 곱해 다룹니다. 따라서 색이나 온도를 추정할 때는 관측 장비의 파장 응답, 대기 흡수와 물체의 방사율을 함께 고려해야 합니다.
자주 하는 오류
- 플랑크 공식이 단일 광자의 에너지식 E=hν와 완전히 같은 식이라고 하지 않습니다.
- Bν와 Bλ의 최대점을 ν=c/λ만으로 직접 바꾸지 않습니다.
- 자외선 파탄은 실제 흑체가 폭발한다는 뜻이 아니라 고전식의 적분이 발산한다는 뜻입니다.
- 양자화가 높은 주파수 모드를 없애는 것이 아니라 그 모드의 열적 점유를 억제한다고 설명합니다.
- 스펙트럼 적분에서 주파수와 파장 미분의 변환 계수를 빠뜨리지 않습니다.
플랑크가 사용한 상태 수와 확률의 로그는 볼츠만 엔트로피 S=klnW와 직접 연결됩니다. 양자화된 에너지의 배치 방법을 세고 가장 가능성 높은 분포를 찾는 과정에서 흑체 공식이 나왔습니다.
핵심 정리
- 고전 등분배는 모드마다 kT를 주어 고주파 적분을 발산시킵니다.
- Eₙ=nhν 양자화는 높은 주파수의 평균에너지를 지수적으로 억제합니다.
- 모드 밀도와 평균에너지를 곱하면 플랑크 분포를 얻습니다.
- 낮은 주파수에서는 고전 레일리-진스 법칙으로 돌아갑니다.
- 전 파장 적분은 유한하며 σT⁴가 됩니다.