전기와 자기를 설명하는 방정식에서 빛의 속도가 나온다는 사실은 19세기 물리학의 결정적인 성과 가운데 하나입니다. 제임스 클러크 맥스웰은 전기장과 자기장의 변화를 하나의 이론으로 묶었고, 그 방정식이 진공에서 파동을 허용한다는 점을 확인했습니다. 파동의 속도를 계산하자 당시 알려진 빛의 속도와 가까운 값이 나왔습니다. 이 일치는 빛이 전자기파라는 결론으로 이어졌습니다.
진공에서 전자기파의 속도: c = 1/√(ε₀μ₀)
여기서 먼저 공식을 바로잡아야 합니다. c=1/(ε₀μ₀)가 아니라 c=1/√(ε₀μ₀)입니다. 제곱근을 빼면 속도가 아니라 속도의 제곱인 c²이 됩니다. 진공 유전율 ε₀과 진공 투자율 μ₀의 곱은 1/c²과 같기 때문입니다. 이 글에서는 제곱근이 왜 반드시 필요한지 맥스웰 방정식부터 수치와 단위까지 차례로 확인합니다.
ε₀과 μ₀는 무엇을 뜻할까
ε₀는 진공 유전율(vacuum electric permittivity)입니다. SI 단위로 F/m를 쓰며, 진공에서 전기장과 전하 사이의 관계를 나타내는 상수입니다. 쿨롱 법칙에서는 정전기력 상수 1/(4πε₀)의 형태로 등장합니다.
μ₀는 진공 투자율(vacuum magnetic permeability)입니다. 단위는 H/m 또는 N/A²로 쓸 수 있으며, 전류와 자기장 사이의 관계에 들어갑니다. 앙페르 법칙과 맥스웰이 보완한 앙페르-맥스웰 법칙에서 μ₀를 볼 수 있습니다.
두 상수를 흔히 ‘진공의 전기적·자기적 성질’이라고 설명하지만, 이를 진공이 고전적인 물질 매질이라는 뜻으로 받아들여서는 안 됩니다. ε₀와 μ₀는 SI로 쓴 전자기학 방정식에서 전기량과 자기량의 관계를 정하는 상수입니다. 맥스웰의 계산은 빛이 에테르라는 물질을 통과한다는 증명이 아닙니다.
진공에서 쓰는 네 개의 맥스웰 방정식
자유 전하도 전류도 없는 진공 영역을 생각하면 현대 벡터 표기법의 맥스웰 방정식은 다음처럼 단순해집니다.
- 전기장의 가우스 법칙: ∇·E = 0
- 자기장의 가우스 법칙: ∇·B = 0
- 패러데이 유도 법칙: ∇×E = −∂B/∂t
- 앙페르-맥스웰 법칙: ∇×B = μ₀ε₀ ∂E/∂t
첫째 식은 이 영역에 자유 전하가 없음을, 둘째 식은 자기 단극자가 관측되지 않아 자기력선이 끊기지 않음을 나타냅니다. 셋째 식은 시간에 따라 변하는 자기장이 소용돌이 모양의 전기장을 만든다는 뜻입니다. 넷째 식은 진공에서 시간에 따라 변하는 전기장이 자기장을 만든다는 뜻입니다.
변위 전류 항이 왜 중요할까
원래의 앙페르 법칙은 정상 전류가 만드는 자기장을 설명했지만, 전하가 축전기에 쌓이는 것처럼 전기장이 시간에 따라 달라지는 상황을 그대로 적용하면 연속 방정식과 충돌하는 문제가 생깁니다. 맥스웰은 전기장의 시간 변화에 해당하는 ε₀∂E/∂t 항을 더했습니다. 이를 변위 전류 밀도라고 부릅니다.
자유 전류가 없는 진공에서도 ∂E/∂t가 0이 아니면 자기장이 생길 수 있습니다. 동시에 변하는 자기장은 패러데이 법칙에 따라 다시 전기장을 만듭니다. 전기장과 자기장의 시간 변화가 서로를 이어 주기 때문에 외부 전하나 도선에서 떨어진 공간에서도 파동 해가 존재합니다.
전기장의 파동방정식을 단계별로 유도하기
먼저 패러데이 법칙 ∇×E=−∂B/∂t의 양변에 다시 컬 연산 ∇×를 적용합니다. 그러면 왼쪽은 ∇×(∇×E)가 되고, 오른쪽은 −∂(∇×B)/∂t가 됩니다. 공간 미분과 시간 미분을 바꿀 수 있는 매끄러운 장을 가정한 결과입니다.
∇×(∇×E) = −∂(∇×B)/∂t
오른쪽의 ∇×B에 앙페르-맥스웰 법칙 ∇×B=μ₀ε₀∂E/∂t를 넣습니다. ε₀와 μ₀를 진공의 일정한 상수로 두면 오른쪽은 −μ₀ε₀∂²E/∂t²가 됩니다.
∇×(∇×E) = −μ₀ε₀ ∂²E/∂t²
이제 벡터 항등식 ∇×(∇×E)=∇(∇·E)−∇²E를 사용합니다. 진공에서 ∇·E=0이므로 첫 항은 사라지고 왼쪽은 −∇²E만 남습니다. 양변의 음수를 없애면 전기장에 대한 파동방정식이 얻어집니다.
∇²E = μ₀ε₀ ∂²E/∂t²
일반적인 파동방정식은 ∇²ψ=(1/v²)∂²ψ/∂t² 형태입니다. 두 식의 시간 미분 앞 계수를 비교하면 1/v²=μ₀ε₀이고, 따라서 v²=1/(μ₀ε₀), v=1/√(μ₀ε₀)가 됩니다. 진공에서 이 속도 v가 바로 c입니다.
자기장도 같은 속도로 전파된다
앙페르-맥스웰 법칙의 양변에 컬을 취하고 패러데이 법칙을 대입하면 자기장에도 같은 계산을 할 수 있습니다. 진공에서 ∇·B=0이므로 결과는 ∇²B=μ₀ε₀∂²B/∂t²입니다. 전기장 E와 자기장 B는 별개의 속도로 달리는 것이 아니라 하나의 전자기파를 이루며 같은 c로 전파됩니다.
진공의 평면 전자기파에서는 전기장, 자기장, 진행 방향이 서로 수직입니다. 장의 크기는 E=cB의 관계를 만족합니다. 전자기 에너지의 흐름 방향은 포인팅 벡터 S=(1/μ₀)E×B로 나타냅니다. 이 관계들은 파동의 진행 방향과 에너지 전달을 정량적으로 보여 줍니다.
단위만 확인해도 제곱근이 필요하다
공식의 형태를 기억하지 못하더라도 차원 분석으로 오류를 가려낼 수 있습니다. ε₀의 단위 F/m와 μ₀의 단위 H/m를 곱하면 FH/m²입니다. 패럿과 헨리의 곱 FH는 s²이므로 ε₀μ₀의 단위는 s²/m²입니다.
- ε₀μ₀의 단위: s²/m²
- √(ε₀μ₀)의 단위: s/m
- 1/√(ε₀μ₀)의 단위: m/s
- 1/(ε₀μ₀)의 단위: m²/s²
속도는 m/s 단위를 가져야 합니다. 따라서 1/√(ε₀μ₀)는 속도가 되지만 1/(ε₀μ₀)는 속도의 제곱입니다. 제곱근 하나가 빠진 식은 단위 단계에서 바로 틀렸음을 확인할 수 있습니다.
CODATA 값으로 실제 계산하기
NIST가 제공하는 2022 CODATA 권고값을 사용하면 진공 유전율은 ε₀=8.8541878188(14)×10⁻¹² F/m이고, 진공 투자율은 μ₀=1.25663706127(20)×10⁻⁶ N/A²입니다. 괄호 안 숫자는 마지막 자릿수의 표준 불확도를 나타냅니다.
| 계산 단계 | 값 | 단위 |
|---|---|---|
| ε₀μ₀ | 약 1.11265005605×10⁻¹⁷ | s²/m² |
| √(ε₀μ₀) | 약 3.33564095198×10⁻⁹ | s/m |
| 1/√(ε₀μ₀) | 약 2.99792458×10⁸ | m/s |
계산 결과는 약 299,792,458 m/s입니다. CODATA 표에 실린 ε₀와 μ₀는 표시 자릿수에서 반올림된 값이므로 계산기에서는 마지막 몇 자리의 아주 작은 차이가 생길 수 있습니다. 반면 SI에서 진공 중 빛의 속도 c는 정확히 299,792,458 m/s로 정의되어 있습니다.
제곱근을 빼고 1/(ε₀μ₀)를 계산하면 약 8.98755179×10¹⁶ m²/s²가 나옵니다. 이는 c가 아니라 c²의 수치입니다. 숫자가 매우 크다는 이유만으로 광속이라고 부를 수 없으며, 단위와 방정식의 계수를 함께 봐야 합니다.
주파수와 파장은 어떻게 연결될까
진공의 전자기파는 c=fλ 관계를 만족합니다. f는 주파수, λ는 파장입니다. 예를 들어 주파수가 100 MHz, 즉 1.0×10⁸ Hz인 전파의 진공 파장은 약 2.998 m입니다. 주파수가 높아지면 파장은 같은 비율로 짧아지지만 진공에서 전파 속도 c는 바뀌지 않습니다.
라디오파, 마이크로파, 적외선, 가시광선, 자외선, X선, 감마선은 주파수와 파장이 다르지만 모두 전자기파입니다. 진공에서는 같은 c로 전파됩니다. 전자기 스펙트럼을 하나의 이론으로 묶을 수 있는 이유가 여기에 있습니다.
물질 속에서는 왜 빛이 느려질까
단순한 선형·균질·등방성 매질에서는 전자기파의 위상속도를 v=1/√(με)로 씁니다. ε=εrε₀, μ=μrμ₀를 대입하면 v=c/√(εrμr)가 됩니다. 굴절률은 이 조건에서 n=c/v=√(εrμr)로 연결됩니다.
실제 물질에서는 ε와 μ가 주파수에 따라 달라질 수 있고 흡수와 분산도 나타납니다. 그래서 모든 물질과 모든 주파수에서 하나의 고정된 ε와 μ만 넣으면 충분하다고 일반화할 수 없습니다. 펄스가 전달되는 군속도와 각 주파수 성분의 위상속도도 구분해야 합니다. 진공 공식 c=1/√(ε₀μ₀)는 이런 매질 효과가 없는 경우를 다룹니다.
맥스웰은 어떻게 빛과 전자기파를 연결했을까
맥스웰은 1865년 논문 〈A Dynamical Theory of the Electromagnetic Field〉에서 전자기장의 교란이 파동으로 전파되며, 전자기 단위와 정전기 단위의 비로 얻은 속도가 빛의 속도와 가까움을 논의했습니다. 당시 사용한 기호와 방정식 배열은 오늘날 교과서의 네 개 벡터 방정식과 같지 않았습니다. 현재 널리 쓰는 유도는 맥스웰 이론을 현대 벡터 표기로 정리한 것입니다.
논문에서 맥스웰이 사용한 전자기 측정값은 초당 약 310,740,000 m였고, 이를 당시 피조의 광속 측정값과 비교했습니다. 두 값은 현대 정밀도에서는 차이가 크지만 당시 실험 불확도와 측정 수준을 고려할 때 같은 규모였습니다. 핵심은 광속을 임의로 맞춘 것이 아니라 전기·자기 측정으로 얻은 속도와 광학적으로 측정한 속도를 비교했다는 데 있습니다.
맥스웰의 결론은 ‘방정식에서 광속을 측정했다’가 아니라, 전자기 이론이 예측한 파동 속도가 알려진 광속과 일치하므로 빛을 전자기적 교란으로 볼 수 있다는 것이었습니다.
빛의 속도가 유한하다는 사실은 맥스웰보다 앞서 천문 관측에서도 확인되었습니다. 목성의 위성 이오가 가려지는 시각을 이용한 과정을 알고 싶다면 올레 뢰머의 광속 계산과 이오 일식 지연을 함께 볼 수 있습니다. 뢰머의 연구는 천문학적 시간 지연으로 광속의 유한성을 보였고, 맥스웰의 이론은 전기와 자기의 법칙에서 전파 속도를 도출했다는 점에서 방법이 다릅니다.
2019년 SI 개정 뒤 μ₀는 더 이상 정확한 값이 아니다
과거 SI에서는 암페어의 정의 때문에 μ₀=4π×10⁻⁷ N/A²가 정확한 값이었습니다. c도 정확했으므로 ε₀=1/(μ₀c²) 역시 정확하게 정해졌습니다. 오래된 교재에서 μ₀ 앞에 불확도가 표시되지 않는 이유입니다.
2019년 5월 20일부터 시행된 개정 SI는 기본 단위를 여러 물리 상수의 고정값으로 정의합니다. c, 플랑크 상수 h, 기본전하 e 등은 정확한 수치로 고정되었지만 μ₀는 더 이상 정의상 정확한 상수가 아닙니다. μ₀는 미세구조상수 같은 실험값과 연결되어 권고값과 불확도를 가집니다. ε₀도 ε₀=1/(μ₀c²)의 관계에 따라 같은 상대 불확도를 가집니다.
따라서 현대 SI에서 ‘ε₀와 μ₀를 측정해 c를 새로 결정한다’고 말하면 단위 정의의 방향을 정확히 반영하지 못합니다. c는 정확한 정의 상수이며, 미터는 빛이 진공에서 1/299,792,458초 동안 진행하는 경로의 길이와 연결되어 정의됩니다. 다만 맥스웰 방정식의 관계 c²=1/(ε₀μ₀)는 그대로 유지됩니다.
전기장과 자기장의 비도 상수로 나타난다
진공 전자기파에는 속도 외에도 ε₀와 μ₀로 표현되는 중요한 양이 있습니다. 진공의 특성 임피던스 Z₀는 √(μ₀/ε₀)=μ₀c이며, 2022 CODATA 값으로 약 376.730313412 Ω입니다. 평면파에서는 전기장과 자기장 세기의 비와 연결됩니다. 속도는 두 상수의 곱으로, 임피던스는 두 상수의 비로 정해진다는 점이 대조적입니다.
자주 틀리는 부분 네 가지
- 제곱근을 생략하지 않습니다. 1/(ε₀μ₀)는 c가 아니라 c²입니다.
- 전자기파 속도 유도에는 앙페르 법칙의 변위 전류 항이 필요합니다.
- 맥스웰이 현대식 네 방정식을 지금과 똑같은 기호로 썼다고 설명하지 않습니다.
- 현대 SI에서 μ₀=4π×10⁻⁷ N/A²는 정확한 정의값이 아니라 매우 정밀하게 측정되는 값입니다.
다른 물리 법칙의 유도와 비교하면 보이는 점
맥스웰의 광속 유도는 이미 알려진 파동방정식의 계수와 전자기장 방정식의 계수를 비교하는 방식입니다. 관측 규칙과 운동 방정식을 결합해 거리 의존성을 찾아내는 뉴턴의 만유인력과 역제곱 법칙 유도와 수학적 구조가 어떻게 다른지 비교해 볼 수 있습니다.
또한 이론식의 유도와 실험 검증은 구분해야 합니다. 시간과 거리의 관계를 실험적으로 다룬 사례는 갈릴레오의 낙하 법칙과 s=(1/2)gt²에서 확인할 수 있습니다. 맥스웰 방정식도 수학적 예측만으로 끝난 것이 아니라 이후 전자기파의 생성과 검출, 광학 실험을 통해 폭넓게 검증되었습니다.
맥스웰의 광속 유도 핵심 정리
- 진공에서 변하는 전기장과 자기장은 서로를 만들어 전자기파를 이룹니다.
- 맥스웰 방정식에서 ∇²E=μ₀ε₀∂²E/∂t²와 ∇²B=μ₀ε₀∂²B/∂t²가 나옵니다.
- 표준 파동방정식과 비교하면 c=1/√(ε₀μ₀)입니다.
- 제곱근이 없는 1/(ε₀μ₀)는 c²이며 단위도 m²/s²입니다.
- 2022 CODATA 값을 넣으면 약 299,792,458 m/s가 나옵니다.
- 현대 SI에서 c는 정확한 정의값이고 ε₀와 μ₀에는 측정 불확도가 있습니다.
자주 묻는 질문
맥스웰은 빛의 속도를 최초로 측정했나요?
아닙니다. 광속의 유한성은 뢰머의 천문 관측 등으로 앞서 알려졌고, 19세기에는 피조와 푸코의 지상 측정도 있었습니다. 맥스웰의 성과는 전자기 이론에서 파동 속도를 유도하고 그 값이 측정된 광속과 일치한다는 사실을 연결한 것입니다.
왜 전하와 전류가 없는 진공에서도 파동이 존재하나요?
파동이 지나가는 영역에 자유 전하와 전류가 없어도 시간에 따라 변하는 전기장이 자기장을 만들고, 변하는 자기장이 전기장을 만듭니다. 이 결합이 진공 맥스웰 방정식의 파동 해를 허용합니다. 다만 실제 파동을 처음 발생시키려면 안테나의 가속 전하처럼 에너지원이 필요합니다.
μ₀와 ε₀를 곱하면 왜 정확히 1/c²인가요?
진공 맥스웰 방정식이 예측하는 파동 속도의 계수가 μ₀ε₀이기 때문입니다. 표준 파동방정식의 계수 1/c²와 비교하면 μ₀ε₀=1/c²가 됩니다. SI 상수 체계에서도 ε₀=1/(μ₀c²)의 관계로 표현됩니다.
빛보다 빠른 전자기파가 있나요?
진공에서 자유롭게 전파되는 전자기파는 모두 c로 이동합니다. 물질의 분산 조건에서는 위상속도가 c를 넘는 수학적 상황이 생길 수 있지만, 이것이 정보나 에너지가 진공 광속보다 빠르게 전달된다는 뜻은 아닙니다. 인과적 신호 전달과 단순한 위상 이동을 구분해야 합니다.