코흐 곡선은 선분의 가운데 1/3을 정삼각형의 두 변으로 바꾸는 과정을 무한히 반복해 만듭니다. 한 단계마다 선분 하나가 길이 1/3인 선분 네 개로 바뀝니다. 전체 도형이 축척 1/3인 자기 복사본 4개로 이루어지므로 자기유사 차원 D는 4=3^D를 만족합니다. 따라서 D=log 4/log 3≈1.26186입니다. 선보다 복잡하지만 평면을 완전히 채우지는 않는 중간 차원입니다.
N=S^D에서 차원 구하기
한 도형을 각 길이가 원래의 1/S인 서로 닮은 조각 N개로 나눌 수 있다고 하겠습니다. d차원 길이·넓이·부피는 축척을 1/S로 줄이면 1/S^d로 변합니다. 전체를 같은 크기로 유지하려면 N/S^D=1이어야 하므로 N=S^D, D=log N/log S입니다.
코흐 곡선: N=4, S=3 → D=log 4/log 3≈1.2618595
보통 선분은 절반 크기 조각 2개이므로 log 2/log 2=1, 정사각형은 절반 크기 정사각형 4개이므로 log 4/log 2=2입니다. 시에르핀스키 삼각형은 절반 크기 삼각형 3개라서 log 3/log 2≈1.585입니다. 이 비교는 자기유사 차원이 익숙한 정수 차원을 확장한다는 점을 보여 줍니다.
코흐 곡선 만드는 과정
- 선분을 같은 길이의 세 부분으로 나눕니다.
- 가운데 1/3을 밑변으로 하는 정삼각형의 두 변을 바깥쪽에 만듭니다.
- 원래 가운데 선분은 제거합니다.
- 남은 네 선분 각각에 같은 과정을 반복합니다.
0단계 선분 수는 1, n단계는 4^n입니다. 각 선분 길이는 처음 길이를 L₀라 할 때 L₀/3^n입니다. 전체 길이는 4^n×L₀/3^n=L₀(4/3)^n이므로 n이 커질수록 무한대로 발산합니다.
| 단계 n | 선분 수 | 한 선분 길이 | 전체 길이 |
|---|---|---|---|
| 0 | 1 | L₀ | L₀ |
| 1 | 4 | L₀/3 | (4/3)L₀ |
| 2 | 16 | L₀/9 | (4/3)²L₀ |
| n | 4^n | L₀/3^n | L₀(4/3)^n |
코흐 눈송이는 둘레가 무한하고 넓이는 유한합니다
정삼각형의 세 변에 코흐 과정을 적용하면 코흐 눈송이가 됩니다. 둘레는 단계마다 4/3배가 되어 무한대로 갑니다. 반면 새로 붙는 삼각형의 개수는 4배씩 늘지만 각 넓이는 1/9로 줄어 추가 넓이가 이전 추가량의 4/9배가 됩니다. 4/9<1인 등비급수이므로 전체 넓이는 유한한 값에 수렴합니다.
초기 정삼각형 넓이를 A₀라 하면 첫 단계에 A₀/3이 더해집니다. 이후 추가량은 매번 4/9배이므로 총넓이는 A₀[1+(1/3)/(1-4/9)]=8A₀/5입니다. 무한한 경계 길이와 유한한 내부 면적이 동시에 가능한 이유는 측정 차원이 다르기 때문입니다.
하우스도르프 차원과 자기유사 차원
D=log N/log S는 정확한 자기유사성과 조각 겹침이 적절한 조건에서 하우스도르프 차원과 일치합니다. 모든 프랙탈에 조각 수 공식만 적용할 수 있는 것은 아닙니다. 자기유사 조각이 심하게 겹치거나 축척이 서로 다르고 무작위 구조라면 하우스도르프 측도의 정의나 다른 방법이 필요합니다.
하우스도르프 차원은 지름이 아주 작은 집합들로 대상을 덮고 지름의 d제곱 합이 0으로 가는지 무한대로 가는지가 바뀌는 임계 d로 정의됩니다. 코흐 곡선에서는 d=log4/log3에서 이 측도가 0도 무한대도 아닌 값이 되어 공식과 맞습니다.
박스 카운팅 차원
격자 한 칸 크기를 ε로 줄이며 도형과 만나는 칸 수 N(ε)을 세는 박스 카운팅 차원은 D=lim_{ε→0} log N(ε)/log(1/ε)로 정의합니다. 실제 영상과 자료에서는 여러 ε에서 로그-로그 그래프의 기울기를 추정합니다. 유한 해상도와 제한된 축척 범위 때문에 계산값은 근사이며 하우스도르프 차원과 항상 같지는 않습니다.
유한 단계 그림과 극한 곡선은 다릅니다
컴퓨터 화면이나 종이에 그린 코흐 곡선은 언제나 유한 단계입니다. n단계 도형은 길이가 유한한 4^n개의 선분으로 이루어진 다각선이고, 각 점에서 방향이 급하게 바뀌더라도 보통의 선 길이를 계산할 수 있습니다. 수학적 코흐 곡선은 n을 무한히 보낼 때 이 다각선들이 한 점 한 점 수렴해 얻는 극한 집합입니다. 전체 길이가 무한하다는 결론은 유한 단계 하나의 길이가 무한하다는 뜻이 아니라 L₀(4/3)^n이 한계 없이 커진다는 뜻입니다.
각 단계에서 새 곡선과 이전 곡선 사이의 최대 거리는 단계가 올라갈수록 기하급수적으로 작아집니다. 그래서 다각선은 위치 면에서는 하나의 연속 곡선으로 수렴합니다. 그러나 길이는 이런 균등한 위치 수렴만으로 보존되지 않습니다. 길이가 유한한 곡선들의 열이 길이가 무한한 곡선으로 수렴할 수 있다는 점이 코흐 예제의 중요한 교훈입니다.
눈송이 넓이 8A₀/5를 단계별로 확인하기
초기 정삼각형 한 변의 길이를 a라고 하면 A₀=√3a²/4입니다. 첫 단계에는 각 변 가운데에 한 변 a/3인 정삼각형이 하나씩, 모두 3개 붙습니다. 작은 삼각형 하나의 넓이는 A₀/9이므로 첫 추가 넓이는 3A₀/9=A₀/3입니다. 두 번째 단계에서는 새 삼각형이 12개이고 한 개 넓이는 A₀/81이므로 추가량은 12A₀/81=4A₀/27입니다.
추가 넓이는 A₀/3, (A₀/3)(4/9), (A₀/3)(4/9)²처럼 이어집니다. 무한 등비급수의 합은 (A₀/3)/(1−4/9)=3A₀/5이고, 처음 넓이 A₀를 더하면 8A₀/5입니다. 경계 선분 수의 증가율 4와 한 선분 길이의 감소율 1/3은 둘레를 4/3배로 키우지만, 삼각형 넓이는 길이의 제곱에 비례해 1/9로 줄어 추가 넓이 비율은 4/9가 됩니다.
측정 축척으로 차원을 직접 읽기
코흐 곡선을 길이 1/3인 조각으로 덮으면 기본 선분 4개가 필요합니다. 축척을 다시 1/3로 줄여 1/9짜리 조각을 쓰면 16개, 1/27짜리 조각이면 64개가 필요합니다. 일반적으로 ε=3^(−n)일 때 N(ε)=4^n입니다. 로그를 취하면 log N(ε)=n log4, log(1/ε)=n log3이므로 두 값의 비는 단계와 무관하게 log4/log3입니다.
| 측정 축척 ε | 필요한 자기유사 조각 수 N(ε) | log N/log(1/ε) |
|---|---|---|
| 1/3 | 4 | log4/log3 |
| 1/9 | 16 | log16/log9 |
| 1/27 | 64 | log64/log27 |
| 3^(−n) | 4^n | log4/log3 |
로그의 밑은 무엇을 써도 결과가 같습니다. 밑변환 공식에 따라 log_b4/log_b3은 ln4/ln3과 같기 때문입니다. 숫자 1.26186은 좌표축이 1.26186개 있다는 뜻이 아닙니다. 관찰 눈금을 세 배 더 촘촘하게 만들 때 필요한 조각 수가 네 배가 되는 축척 법칙을 하나의 지수로 표현한 값입니다.
차원은 길이 증가율을 설명합니다
측정 막대 길이를 1/S로 줄였을 때 필요한 막대 수가 S^D배 늘어난다면 추정 길이는 S^D×(1/S)=S^{D-1}배가 됩니다. D>1인 코흐 곡선에서는 더 작은 자로 잴수록 길이가 계속 증가합니다. 반면 면적을 재는 2차원 척도에서는 D<2이므로 곡선 자체의 평면 넓이는 0입니다.
자연의 프랙탈과 정확한 코흐 곡선의 차이
해안선, 구름, 혈관처럼 여러 축척에서 복잡한 패턴을 보이는 대상을 프랙탈 차원으로 분석할 수 있습니다. 하지만 자연물은 무한히 정확한 자기유사 구조가 아니고 원자 규모나 전체 크기에서 축척 범위가 끝납니다. 관측 자료에서 얻은 차원은 선택한 범위와 측정 방법에 따른 통계적 추정치입니다.
해안선 길이가 자의 길이에 따라 달라지는 현상도 같은 축척 의존성을 보여 줍니다. 긴 자는 작은 만과 바위를 건너뛰고, 짧은 자는 더 많은 굴곡을 따라갑니다. 다만 실제 해안은 모든 축척에서 정확히 네 조각으로 복제되는 코흐 곡선이 아닙니다. 로그-로그 그래프가 어느 구간에서 거의 직선인지 확인한 뒤 그 구간의 기울기를 추정해야 하며, 지도 해상도와 해수면 기준도 결과에 영향을 줍니다.
자주 생기는 오해
- 공식은 log₃(log4)가 아니라 log 4/log 3입니다.
- D≈1.2619는 곡선이 1.2619개의 공간 방향을 가진다는 뜻이 아니라 축척에 따른 복잡도 증가율입니다.
- 둘레가 무한해도 둘러싼 넓이가 무한일 필요는 없습니다.
- 자기유사 차원 공식이 모든 불규칙한 도형의 하우스도르프 차원을 자동으로 주지는 않습니다.
- 컴퓨터 그림은 유한 단계 근사이며 실제 수학적 코흐 곡선은 무한 반복의 극한입니다.
프랙탈 차원 핵심 정리
코흐 곡선은 원래의 1/3 크기인 자기유사 조각 4개로 이루어집니다. N=S^D에 N=4,S=3을 넣으면 D=log4/log3≈1.26186입니다. n단계 길이는 L₀(4/3)^n이어서 무한히 커지지만 코흐 눈송이의 추가 넓이는 비율 4/9의 등비급수라 유한하게 수렴합니다.
정확한 자기유사 집합에서는 이 차원이 하우스도르프 차원과 일치할 수 있습니다. 자연 자료에서는 박스 카운팅 같은 방법으로 제한된 축척의 기울기를 추정하며, 그 값을 이상적인 프랙탈의 정확한 차원과 구분해야 합니다.