길이가 100m인 울타리로 닫힌 땅을 만든다면 어떤 모양이 가장 넓을까요? 정사각형, 길쭉한 직사각형, 정삼각형 가운데서는 정사각형이 넓지만 모든 닫힌 평면 도형을 비교하면 답은 원입니다. 이 사실을 수식으로 나타낸 것이 등주부등식입니다. 둘레를 L, 그 안의 넓이를 A라고 하면 4πA≤L²이고, 경계가 원일 때만 등호가 성립합니다.
식을 넓이에 관해 정리하면 A≤L²/(4π)입니다. 둘레가 고정되면 오른쪽은 하나의 수이므로 어떤 모양도 이 값을 넘을 수 없습니다. 반대로 넓이 A를 고정하면 L≥2√(πA)가 되어, 같은 넓이를 둘러싸는 경계 가운데 원의 둘레가 가장 짧다고 말할 수 있습니다. ‘같은 둘레에서 최대 넓이’와 ‘같은 넓이에서 최소 둘레’는 같은 부등식을 다른 방향에서 읽은 표현입니다.
원의 값을 대입하면 등호가 됩니다
반지름이 r인 원은 둘레 L=2πr, 넓이 A=πr²입니다. 부등식의 양쪽을 계산하면 4πA=4π·πr²=4π²r²이고 L²=(2πr)²=4π²r²입니다. 두 값이 정확히 같으므로 원은 상한에 도달합니다. 중요한 부분은 원이 이 값을 갖는다는 확인뿐 아니라 다른 모든 허용 곡선은 그보다 작다는 증명입니다.
4πA≤L², 즉 A≤L²/(4π). 등호는 경계가 원일 때만 성립합니다.
둘레 100m로 직접 비교하기
둘레가 100m인 정사각형은 한 변이 25m이므로 넓이가 625m²입니다. 가로 40m, 세로 10m인 직사각형도 둘레는 100m지만 넓이는 400m²입니다. 정삼각형의 한 변은 100/3m이고 넓이는 (√3/4)(100/3)²≈481.13m²입니다. 같은 둘레인 원의 반지름은 100/(2π)m이고 넓이는 10000/(4π)≈795.77m²입니다.
| 도형 | 둘레 100m일 때 조건 | 넓이 |
|---|---|---|
| 원 | r=50/π m | 약 795.77m² |
| 정사각형 | 한 변 25m | 625m² |
| 정삼각형 | 한 변 100/3m | 약 481.13m² |
| 40×10 직사각형 | 2(40+10)=100 | 400m² |
이 표는 몇 가지 모양을 비교했을 뿐이므로 자체로 등주부등식의 증명은 아닙니다. 찌그러진 곡선과 오목한 모양을 포함한 모든 가능한 경계를 다 조사할 수 없기 때문입니다. 다만 원이 왜 유력한지, 길쭉하게 늘어질수록 같은 둘레로 감싸는 넓이가 줄어드는지를 수치로 확인하는 데 도움이 됩니다.
등주비로 모양의 효율을 비교하기
등주비 Q=4πA/L²을 정의하면 등주부등식은 Q≤1이라는 간단한 형태가 됩니다. 원은 Q=1이고 다른 모양은 1보다 작습니다. Q는 길이 단위에 영향을 받지 않습니다. 도형을 3배 확대하면 A는 9배, L²도 9배가 되므로 비율은 그대로입니다. 그래서 크기가 서로 다른 도형의 둥근 정도나 둘레 대비 면적 효율을 비교할 수 있습니다.
정사각형의 등주비는 4πs²/(4s)²=π/4≈0.7854입니다. 정삼각형은 4π(√3s²/4)/(3s)²=π√3/9≈0.6046입니다. 가로 a, 세로 b인 직사각형은 Q=πab/(a+b)²이며, 합 a+b가 고정되면 곱 ab는 a=b일 때 가장 큽니다. 따라서 직사각형끼리만 비교하면 정사각형이 가장 효율적이지만 전체 평면 도형 중에서는 원이 더 큽니다.
정다각형은 변이 많아질수록 원에 가까워집니다
둘레 L인 정n각형의 한 변은 L/n입니다. 중심에서 각 변에 내린 수선으로 n개의 이등변삼각형을 만들면 넓이는 Aₙ=L²/[4n tan(π/n)]으로 정리됩니다. 따라서 등주비는 Qₙ=π/[n tan(π/n)]입니다. n이 커질수록 tan(π/n)은 π/n에 가까워져 Qₙ이 1로 수렴합니다.
| 정다각형 | 등주비 Q | 원의 넓이에 대한 비율 |
|---|---|---|
| 정삼각형 | π√3/9 | 약 0.6046 |
| 정사각형 | π/4 | 약 0.7854 |
| 정육각형 | π/(2√3) | 약 0.9069 |
| 정십이각형 | π/[12tan(π/12)] | 약 0.9770 |
| 원 | 1 | 1 |
이 결과는 아르키메데스가 내접·외접 다각형으로 원주율을 좁혀 간 계산과도 연결됩니다. 변의 수가 늘어난 정다각형이 원에 가까워지는 성질을 이용하지만, ‘다각형의 극한이 원처럼 보인다’는 직관만으로 임의의 곡선에 대한 등주부등식이 자동으로 증명되지는 않습니다. 극한 과정과 넓이·둘레의 수렴을 정당화해야 합니다.
왜 울퉁불퉁한 경계가 불리한가
경계에 바깥으로 튀어나왔다가 다시 들어오는 작은 굴곡이 있으면 둘레는 늘어나지만 새로 확보하는 넓이는 상대적으로 작을 수 있습니다. 오목한 두 점을 직선으로 잇는 현으로 경계 일부를 바꾸면 둘레를 줄이면서 영역을 유지하거나 넓힐 여지가 생깁니다. 최적 모양은 오목한 홈이 없는 볼록한 형태여야 한다는 생각으로 이어집니다.
볼록한 모양 안에서도 한 방향으로 유난히 길면 같은 둘레의 상당 부분이 긴 왕복 경계에 쓰입니다. 모든 방향으로 균형 잡힌 원은 경계 길이를 특정 방향에 치우치게 소비하지 않습니다. 이는 이해를 돕는 직관이며 엄밀한 증명은 대칭화, 푸리에 급수, 변분법 등 선택한 정리의 조건에 맞는 논증을 필요로 합니다.
대칭화로 보는 증명의 생각
슈타이너 대칭화는 한 방향과 평행한 각 직선이 도형과 만나는 구간들을 그 길이는 유지한 채 중심선에 대해 대칭이 되도록 옮기는 방법입니다. 이 과정은 넓이를 보존하고 적절한 조건에서 둘레를 늘리지 않습니다. 여러 방향으로 대칭화를 거듭하면 도형은 원에 가까워집니다. 원보다 넓이가 큰 같은 둘레의 도형이 있다고 가정하면 이 과정을 통해 모순을 이끌 수 있습니다.
대칭화 설명에는 기술적인 조건이 붙습니다. 경계가 충분히 규칙적인지, 둘레를 어떤 의미로 정의하는지, 반복 대칭화의 극한을 어떻게 다루는지를 밝혀야 합니다. 현대 수학에서는 매끄러운 단순 폐곡선뿐 아니라 유한 둘레 집합 등 더 넓은 범위에서 등주부등식을 정식화합니다. 이 글의 L은 보통의 닫힌 평면 곡선의 길이, A는 그 곡선이 둘러싼 넓이로 이해하면 됩니다.
푸리에 급수를 이용한 고전적 증명 윤곽
매끄러운 단순 폐곡선을 호의 길이 s로 매개화해 좌표를 x(s), y(s)라고 놓을 수 있습니다. 한 바퀴의 길이가 L이므로 좌표함수는 주기 L인 함수입니다. 원점을 적절히 잡아 평균을 0으로 만든 뒤 푸리에 급수와 비르팅거 부등식을 적용하면 좌표의 제곱 적분을 도함수의 제곱 적분으로 제한할 수 있습니다.
호의 길이 매개화에서는 x'(s)²+y'(s)²=1이므로 한 주기 적분은 L입니다. 넓이는 그린 정리를 통해 A=(1/2)∮(x dy−y dx)로 나타낼 수 있습니다. 코시–슈바르츠 부등식과 비르팅거 부등식을 결합하면 A≤L²/(4π)가 나옵니다. 등호가 성립하려면 사용한 부등식들의 등호 조건이 동시에 맞아야 하며, 좌표가 같은 주파수의 사인과 코사인 꼴이 되어 곡선은 원이 됩니다.
이 윤곽은 등호 조건이 왜 중요한지도 보여 줍니다. 단순히 원이 최대값에 도달한다는 것만으로는 같은 최대값을 갖는 다른 모양이 없는지 알 수 없습니다. 등주부등식은 적절한 곡선의 범위에서 등호가 원일 때만 성립한다고 말합니다. 원을 회전하거나 평행이동하고 크기를 바꾼 것은 여전히 원이므로 동일한 등호 사례입니다.
미적분으로 원을 후보로 찾는 방법
변분법에서는 경계를 아주 조금 움직였을 때 넓이와 둘레가 어떻게 변하는지를 계산합니다. 둘레를 고정한 상태에서 넓이가 극값이면 경계의 곡률이 모든 점에서 일정해야 한다는 조건이 나옵니다. 평면의 닫힌 곡선 가운데 양의 일정한 곡률을 갖는 곡선은 원입니다. 이 계산은 원이 최적 후보임을 찾게 해 주며, 전역 최댓값이고 유일하다는 결론에는 추가 논증이 필요합니다.
라그랑주 승수의 말로 표현하면 A−λL의 일차 변화가 모든 허용 변형에 대해 0이어야 합니다. 경계를 법선 방향으로 움직이는 함수가 임의적이므로 곡률 κ가 상수 1/λ가 됩니다. 원의 곡률은 1/r로 일정합니다. 하지만 극값 조건을 만족한다는 사실만으로 최대인지 최소인지 정해지지는 않으므로 등주부등식 전체 증명과 구분해야 합니다.
끈으로 재는 실험에서 생기는 오차
실제 끈이나 울타리로 원을 만들 때 측정값이 이론과 다를 수 있습니다. 끈의 두께와 탄성, 매듭에 들어간 길이, 지면의 굴곡, 측량 오차가 있기 때문입니다. 또한 경계선 가운데 어디를 둘레로 볼지에 따라 안쪽 면적이 달라집니다. 등주부등식은 두께가 없는 수학적 곡선과 평면 넓이에 관한 명제입니다.
자연 지형이나 농지에서는 사용할 수 없는 부분, 경사, 기존 벽과 하천 같은 제약이 있습니다. 한쪽에 이미 직선 벽이 있어 울타리를 세 면에만 쓰는 문제라면 최적 모양은 전체 둘레를 자유롭게 쓰는 원 문제가 아닙니다. 조건에 따라 반원이나 특정 직사각형이 해가 될 수 있으므로 ‘원은 언제나 최적’이라고 범위를 넓히면 안 됩니다.
프랙탈 경계에는 그대로 적용할 수 있을까
코흐 눈송이는 유한한 넓이를 가지지만 경계 길이가 무한대로 발산하는 대표 사례입니다. 이때 L=∞를 넣으면 4πA≤L²은 참이지만 유용한 상한을 주지 않습니다. 코흐 곡선의 하우스도르프 차원 계산처럼 프랙탈 경계에서는 보통의 곡선 길이와 차원을 따로 살펴야 합니다. 유한 둘레를 가정한 최적화 문제와 무한 길이 경계를 같은 방식으로 비교할 수 없습니다.
자주 묻는 계산
둘레가 L이면 최대 넓이는 얼마인가요?
Amax=L²/(4π)입니다. 이 값을 실제로 만드는 모양은 반지름 r=L/(2π)인 원입니다. 예를 들어 L=20이면 r=10/π이고 최대 넓이는 100/π≈31.83입니다.
넓이가 A이면 최소 둘레는 얼마인가요?
Lmin=2√(πA)입니다. 넓이가 100인 경우 최소 둘레는 20√π≈35.45이고, 반지름 √(100/π)인 원에서 달성됩니다.
구나 입체에도 같은 식을 쓰나요?
아닙니다. 4πA≤L²은 평면에서 넓이와 둘레를 비교하는 2차원 식입니다. 3차원에서는 주어진 표면적에서 구가 최대 부피를 감싸는 대응 정리가 있고, 차원에 맞는 다른 상수와 지수를 사용합니다. 평면의 A와 입체의 표면적을 같은 문자로 섞으면 단위부터 맞지 않습니다.
등주부등식 핵심 정리
닫힌 평면 곡선의 둘레를 L, 둘러싼 넓이를 A라고 하면 4πA≤L²입니다. 그래서 같은 둘레에서는 원의 넓이가 가장 크고, 같은 넓이에서는 원의 둘레가 가장 짧습니다. 등호는 원에서만 성립합니다. 등주비 Q=4πA/L²을 사용하면 원은 1, 다른 도형은 1보다 작은 값으로 비교할 수 있습니다.
정다각형은 변의 수가 늘어날수록 등주비가 1에 가까워지지만 유한한 변을 가진 정다각형은 원과 같아지지 않습니다. 현실의 울타리 문제에는 벽, 지형, 두께 같은 별도 제약이 들어갈 수 있습니다. 식을 적용하기 전에 모든 경계를 자유롭게 선택할 수 있는 평면 문제인지, L이 전체 둘레인지 확인해야 정확한 결론을 얻습니다.