A4 용지 비율은 왜 √2일까? 반으로 접어도 닮은꼴인 종이 규격의 수학

프린터 용지, 보고서, 시험지에서 가장 자주 만나는 A4 용지의 크기는 210×297 mm입니다. 두 수를 나누면 297÷210≈1.4143이 나옵니다. 제곱해서 2가 되는 수인 √2≈1.4142와 거의 같습니다. A4가 이런 비율을 쓰는 이유는 단순히 보기 좋은 직사각형을 만들기 위해서가 아닙니다. 긴 변의 가운데를 잘라 절반으로 나누어도 원래 종이와 같은 모양이 되도록 설계한 결과입니다.

이 성질 덕분에 A3를 절반으로 자르면 A4가 되고, A4를 절반으로 자르면 A5가 됩니다. 종이 넓이는 절반으로 줄지만 가로와 세로의 비는 계속 1:√2로 유지됩니다. 문서를 한 단계 작게 복사하거나 두 장을 한 장에 배치할 때 내용의 가로세로 비가 흐트러지지 않는 것도 같은 수학에서 나옵니다.

A4 용지의 정확한 규격은 210×297 mm

국제표준 ISO 216은 행정·상업·기술 용도의 필기용지와 일정한 인쇄물에 쓰는 A계열과 B계열 재단 치수를 규정합니다. 현재 ISO가 공개한 규격 정보에 따르면 ISO 216:2007은 2007년 9월 발행된 제2판이며 2021년 정기 검토에서 현재 규격으로 확인됐습니다. 이 표준에서 사용하는 A4의 공칭 치수는 짧은 변 210 mm, 긴 변 297 mm입니다.

표에서 앞 규격의 짧은 변은 다음 규격의 긴 변이 됩니다. 예를 들어 A3의 짧은 변 297 mm는 A4의 긴 변 297 mm가 되고, A3의 긴 변 420 mm를 절반으로 나눈 210 mm가 A4의 짧은 변이 됩니다. A4에서 A5로 넘어갈 때도 210 mm는 그대로 긴 변이 되고 297 mm의 절반인 148.5 mm가 새 짧은 변의 이론값이 됩니다. 표준 치수는 정수 밀리미터로 표시되므로 A5는 148×210 mm로 정해져 있습니다.

반으로 접어도 닮은꼴이 되는 방정식

이제 A4 비율이 왜 √2인지 방정식으로 확인해 보겠습니다. 계산을 단순하게 만들기 위해 원래 직사각형의 짧은 변을 1, 긴 변을 x라고 놓습니다. 긴 변을 절반으로 나누면 작은 직사각형의 두 변은 x/2와 1이 됩니다. x는 1보다 크고 2보다 작으므로 잘라 낸 작은 직사각형에서는 1이 긴 변, x/2가 짧은 변입니다.

두 직사각형이 닮은꼴이려면 긴 변을 짧은 변으로 나눈 비율이 같아야 합니다. 원래 종이의 비율은 x/1이고, 절반으로 나눈 종이를 90도 돌렸을 때의 비율은 1/(x/2)입니다. 따라서 다음 식이 성립합니다.

x:1 = 1:(x/2)

x/1 = 1/(x/2) = 2/x

x = 2/x → x² = 2 → x = √2 ≈ 1.41421356

대수적으로 x²=2의 해는 ±√2이지만 종이 길이는 음수가 될 수 없으므로 양수인 √2만 사용합니다. 따라서 짧은 변을 1로 놓으면 긴 변은 √2가 됩니다. 요청문에 적힌 식에서 마지막 결과는 x=2가 아니라 x²=2, 즉 x=√2가 정확합니다.

왜 다른 직사각형 비율로는 안 되는가

예를 들어 가로세로 비가 2:1인 종이를 긴 변 방향으로 절반 내면 각 조각은 1:1인 정사각형이 됩니다. 원래의 2:1 직사각형과 모양이 다릅니다. 3:2 종이를 절반으로 나누면 새 비율은 4:3이 되어 역시 원래와 다릅니다. 같은 방향으로 절반을 내고 90도 돌렸을 때 원래와 닮은 직사각형은 양의 길이를 기준으로 1:√2 비율뿐입니다. 이는 앞의 방정식 x²=2가 하나의 양의 해만 갖기 때문입니다.

여기서 유지되는 것은 길이 자체가 아니라 닮음비입니다. A4와 A5의 변 길이가 같은 것은 아니지만 대응하는 변의 비율이 일정합니다. 넓이는 한 번 나눌 때마다 1/2이 되고, 대응하는 길이는 1/√2배가 됩니다. 직사각형의 두 변을 모두 1/√2배 하면 넓이는 (1/√2)²=1/2배가 되기 때문입니다.

A0에서 A4까지 크기가 정해지는 과정

A계열은 A0를 출발점으로 삼습니다. DIN이 공개한 설명에 따르면 A0의 기준 면적은 1 m²이고 치수는 841×1189 mm입니다. A0를 긴 변 방향으로 절반씩 네 번 나누면 A1, A2, A3를 거쳐 A4가 됩니다. 따라서 A4의 이론적인 면적은 1/2⁴=1/16 m²입니다.

면적이 1 m²이고 긴 변과 짧은 변의 비가 √2인 이상적인 A0를 계산해 보겠습니다. 짧은 변을 a m라고 하면 긴 변은 a√2 m이고, 넓이는 a²√2=1입니다. 여기서 a=2^(-1/4)≈0.840896 m, 긴 변은 2^(1/4)≈1.189207 m가 됩니다. 밀리미터 단위로 나타내면 약 840.896×1189.207 mm이며, 공칭 치수 841×1189 mm와 대응합니다.

같은 방식으로 이상적인 A4의 넓이는 0.0625 m²입니다. 1:√2 비율을 적용한 이론 치수는 약 210.224×297.302 mm입니다. 실제 공칭 치수는 정수 밀리미터인 210×297 mm이므로 면적은 62,370 mm², 즉 0.06237 m²입니다. 이론 면적 0.0625 m²와 130 mm² 차이가 나는 것은 √2 비율을 정수 밀리미터 치수로 표시하는 과정에서 생기는 차이입니다.

210×297은 정확히 1:√2인가

수학적으로 1:√2의 소수값은 1:1.414213562…입니다. A4 공칭 치수의 실제 나눗셈은 297÷210=1.414285714…입니다. 두 값의 차이는 약 0.00007215이며 √2에 대한 상대 차이는 약 0.0051%입니다. 따라서 210×297 mm는 √2 비율을 정수 밀리미터로 구현한 표준 치수이지, 두 정수의 비가 무한소수 √2와 완전히 같다는 뜻은 아닙니다.

A4 한 장을 정확히 반으로 접으면 접힌 한쪽 면은 210×148.5 mm입니다. 비율은 210÷148.5≈1.41414로 √2에 매우 가깝습니다. 표준 A5는 148×210 mm이므로 실제로 접은 반쪽과 공칭 A5 사이에는 짧은 변 기준 0.5 mm 차이가 있습니다. 종이의 두께, 재단과 접는 위치까지 고려하면 실물에서는 추가 오차도 생길 수 있습니다.

A4를 A3와 A5로 확대·축소하는 비율

A계열에서 한 단계 큰 종이로 확대하려면 대응하는 변을 √2배 해야 합니다. √2×100≈141.421이므로 이론적인 확대율은 약 141.4%입니다. 복사기에서 A4 문서를 A3에 맞출 때 흔히 141%가 사용되는 이유입니다. 반대로 A3에서 A4 또는 A4에서 A5로 한 단계 줄일 때는 1/√2×100≈70.711%이므로 약 70.7%, 장비의 정수 설정에서는 보통 71%를 사용합니다.

두 단계 차이에서는 계산이 더 단순합니다. √2를 두 번 곱하면 2가 되므로 A4를 A2로 확대할 때 대응하는 변은 정확히 2배가 됩니다. 반대로 A2를 A4로 줄이면 길이는 50%가 됩니다. 한 단계 변환에서 복사기의 141% 또는 71%를 쓰면 반올림 때문에 가장자리에 작은 차이가 생길 수 있으므로, 중요한 도면이나 재단물은 장비의 용지 맞춤 기능과 출력 가능 영역을 함께 확인해야 합니다.

A4 한 장의 무게도 면적으로 계산할 수 있다

복사용지 포장에 표시되는 80 g/m²는 종이 한 장의 무게가 80 g이라는 뜻이 아닙니다. 1 m² 면적의 종이가 80 g이라는 평량 표시입니다. A4의 이론 면적은 A0의 1/16이므로 80 g/m² 용지 한 장의 이론적인 무게는 80÷16=5 g입니다.

80 g/m² A4 한 장의 이론 무게 = 80 g/m² × 1/16 m² = 5 g

공칭 치수 210×297 mm로 직접 계산하면 면적은 0.06237 m²이고, 80×0.06237=4.9896 g입니다. 500매의 이론 무게는 2.5 kg이고 공칭 치수로 계산한 종이 부분의 무게는 약 2.4948 kg입니다. 실제 제품은 제조 공정의 평량 허용 범위, 수분 함량과 포장재 때문에 저울로 잰 값이 이 단순 계산과 완전히 같지 않을 수 있습니다.

인쇄 해상도에 따른 A4 픽셀 크기

A4는 물리적인 길이 규격이므로 픽셀 크기가 하나로 고정되어 있지 않습니다. 이미지의 픽셀 수는 인쇄 해상도인 ppi 또는 dpi 설정에 따라 달라집니다. 1인치는 정확히 25.4 mm이므로 210 mm는 약 8.2677인치, 297 mm는 약 11.6929인치입니다. 각 길이에 원하는 해상도를 곱하고 정수 픽셀로 반올림하면 됩니다.

이 수치는 재단선까지의 A4 면적만 계산한 값입니다. 상업 인쇄에서 재단 여분이 필요한 경우에는 완성 크기 바깥으로 별도의 도련 영역을 더해야 합니다. 도련 크기는 A4 비율에서 자동으로 정해지는 값이 아니라 인쇄소와 제작 사양에 따라 결정됩니다.

A4와 미국 Letter 용지는 크기가 다르다

미국에서 널리 쓰이는 Letter 용지는 8.5×11인치이며 밀리미터로는 215.9×279.4 mm입니다. A4와 비교하면 Letter는 약 5.9 mm 더 넓고 17.6 mm 더 짧습니다. Letter의 가로세로 비는 11÷8.5≈1.2941이므로 √2 비율이 아니며, 긴 변을 절반으로 나눈 종이는 원래 Letter와 닮은꼴이 되지 않습니다.

A4용 문서를 Letter 용지에 100%로 출력하면 세로 내용이 용지 밖으로 나갈 수 있고, Letter용 문서를 A4에 출력하면 가로 내용이 잘릴 수 있습니다. 프린터의 ‘용지에 맞춤’ 기능은 이 차이를 보정하기 위해 문서 전체를 같은 비율로 축소합니다. 문서 교환 전에 페이지 규격을 확인해야 하는 이유입니다.

A4 규격이 만들어진 역사

독일표준화기구 DIN의 공식 기록에 따르면 1:√2 비율의 종이 형식은 18세기 후반에 이미 제안됐습니다. 여러 표준화 시도를 거친 뒤 공학자 발터 포르스트만(Walter Porstmann)이 20세기 초에 면적 1 m²인 A0와 연속적인 절반 나누기를 결합한 체계를 정리했습니다.

DIN은 1922년 8월 18일 종이 규격 DIN 476을 발표했습니다. DIN 자료에 따르면 이 규격을 처음 제도적으로 사용한 곳은 1923년 가을 독일 국영철도 관리 조직이었습니다. 이후 이 체계가 국제표준으로 이어졌고, 현재 A계열과 B계열 재단 치수는 ISO 216에서 규정합니다. ISO 216은 모든 종이 제품에 의무적으로 적용되는 규격은 아니며, ISO 설명에서도 신문·출판 도서·포스터와 별도 국제표준의 대상이 되는 특수 품목에는 반드시 적용되지 않는다고 밝힙니다.

A4 용지 비율에 관한 자주 묻는 질문

A4의 가로세로 비율은 정확히 얼마인가요?

A계열의 설계 비율은 짧은 변과 긴 변을 기준으로 1:√2입니다. √2는 약 1.41421356입니다. A4 공칭 치수 210×297 mm의 실제 수치 비는 약 1:1.41428571이며, 정수 밀리미터 치수 때문에 √2와 아주 작은 차이가 있습니다.

A4를 반으로 접으면 정확히 A5인가요?

A4를 긴 변 방향으로 정확히 반으로 접은 면은 148.5×210 mm입니다. A5의 공칭 치수는 148×210 mm이므로 수학적인 반쪽과 표준의 정수 밀리미터 치수 사이에 0.5 mm 차이가 있습니다. 계열상으로는 A4의 다음 절반 규격이 A5라고 말할 수 있지만 공칭 치수를 비교하면 완전히 같은 수치는 아닙니다.

A4를 A3로 확대할 때 왜 141%인가요?

A3의 넓이는 A4의 2배지만 각 변의 길이는 2배가 아닙니다. 닮은 도형에서 넓이를 2배로 만들려면 길이를 √2배 해야 합니다. √2를 백분율로 바꾸면 약 141.4%이므로 복사기에서는 보통 141%로 표시합니다.

A4의 면적은 정확히 1/16 m²인가요?

A계열의 이론에서는 A0가 1 m²이고 네 번 절반으로 나눈 A4는 1/16 m²입니다. 다만 공칭 치수 210×297 mm를 곱한 실제 계산값은 0.06237 m²로, 1/16 m²인 0.0625 m²와 조금 다릅니다. 이는 치수를 정수 밀리미터로 나타내면서 생기는 차이입니다.

A4를 두 번 접으면 어떤 규격이 되나요?

규격 계열로는 A4를 절반으로 나누면 A5, 다시 절반으로 나누면 A6가 됩니다. A6의 공칭 치수는 105×148 mm입니다. 다만 실물 A4를 접어서 생기는 치수에는 0.5 mm 단위와 종이 두께, 접는 오차가 포함될 수 있으므로 표준에 따라 재단한 A6와 완전히 같은 실측값이라고 단정할 수는 없습니다.

A4 용지 비율 계산 핵심 정리

A4 용지는 210×297 mm이며 A계열의 기본 가로세로 비는 1:√2입니다. 짧은 변을 1, 긴 변을 x라고 놓고 긴 변을 절반으로 나눈 직사각형이 원래와 닮았다고 두면 x:1=1:(x/2)가 됩니다. 이를 풀면 x²=2이고, 길이는 양수이므로 x=√2입니다.

한 단계 작은 규격으로 갈 때 넓이는 절반, 각 변은 1/√2배가 됩니다. 한 단계 큰 규격으로 확대할 때는 각 변이 √2배가 되므로 약 141.4%, 축소할 때는 약 70.7%를 적용합니다. A0의 기준 면적 1 m²를 네 번 절반으로 나누면 A4의 이론 면적 1/16 m²가 되고, 이 관계를 이용하면 용지 무게와 확대·축소율도 계산할 수 있습니다.

210×297 mm와 148×210 mm처럼 표준표에 적힌 값은 정수 밀리미터 치수입니다. 그래서 실제 공칭 치수의 비율과 넓이는 무한소수 √2와 이론 면적에 정확히 일치하지 않습니다. A4의 핵심은 개별 숫자가 √2를 완벽하게 나타낸다는 데 있지 않고, 절반으로 나누어도 같은 형태가 이어지는 1:√2의 설계 원리에 있습니다.

참고 자료

• ISO, ISO 216:2007 규격 정보
• DIN, Happy birthday, A4!
• DIN, A계열 규격의 역사와 치수표
• 미국 국립표준기술연구소 NIST, Metrication in Building Design, Production, and Construction
• 미국 의회도서관, Standardization and the Law