허블의 법칙과 우주 나이: H₀의 역수로 팽창 시간을 계산하는 방법

멀리 있는 은하일수록 더 빠르게 멀어지는 경향은 현대 우주론의 출발점입니다. 가까운 우주에서 은하의 후퇴 속도 v와 거리 d는 v=H₀d로 연결됩니다. 이 식을 시간을 구하는 형태로 바꾸면 d/v=1/H₀가 됩니다. 그래서 허블 상수의 역수는 우주가 지금과 같은 비율로 팽창해 왔다고 가정할 때의 팽창 시간을 알려 줍니다.

허블-르메트르 법칙: v = H₀d, 허블 시간: tH = 1/H₀

다만 1/H₀를 곧바로 정확한 우주 나이라고 부르면 안 됩니다. 우주의 팽창률은 역사 전체에서 일정하지 않았습니다. 복사와 물질이 지배하던 시기에는 팽창이 감속했고, 최근 우주에서는 암흑에너지와 관련된 가속 팽창이 관측됩니다. 1/H₀는 우주 나이의 규모를 빠르게 짐작하는 ‘허블 시간’이며, 실제 나이는 팽창률의 시간 변화를 적분해 구합니다.

허블 상수 H₀의 단위부터 읽어 보기

허블 상수는 보통 km/s/Mpc로 표시합니다. 1Mpc는 100만 파섹이며 약 326만 광년, 약 3.0856776×10¹⁹km입니다. H₀=70km/s/Mpc라는 표현은 거리가 1Mpc 늘어날 때 우주 팽창에 따른 후퇴 속도가 약 70km/s씩 커진다는 뜻입니다.

마지막 행처럼 아주 먼 거리에서는 표의 곱셈만으로 관측값을 정확히 해석할 수 없습니다. 빛이 오는 동안 팽창률이 달라지고, 거리에도 고유거리·공변거리·광도거리·각지름거리처럼 서로 다른 정의가 있기 때문입니다. v=H₀d는 현재 시각의 가까운 우주에서 가장 직접적으로 읽히는 관계입니다.

왜 H₀의 역수가 시간 단위가 될까

단위를 그대로 뒤집어 보면 이유가 드러납니다. H₀의 단위 (km/s)/Mpc는 ‘초당 킬로미터를 메가파섹으로 나눈 값’입니다. Mpc를 km로 바꾸면 H₀는 1/s가 되고, 그 역수는 초가 됩니다.

H₀ = 70km·s⁻¹·Mpc⁻¹ = 70/(3.0856776×10¹⁹)s⁻¹ ≈ 2.2685×10⁻¹⁸s⁻¹

이를 뒤집으면 1/H₀≈4.4081×10¹⁷초입니다. 1년을 365.25일로 환산하면 약 139억 6,846만 년, 즉 약 139.7억 년입니다. 일반적으로 H₀를 km/s/Mpc로 넣었을 때 허블 시간은 다음의 간이식으로 계산할 수 있습니다.

허블 시간(Gyr) ≈ 977.8/H₀(km/s/Mpc)

H₀=70이면 977.8÷70≈13.97Gyr입니다. Gyr는 10억 년을 뜻하므로 약 139.7억 년입니다. H₀가 작을수록 같은 거리에 대한 현재 팽창률이 느리고 허블 시간은 길어집니다. H₀가 크면 허블 시간은 짧아집니다.

v=H₀d에서 팽창 시간을 거꾸로 추정하기

속력이 일정한 물체라면 이동 시간은 거리÷속력입니다. 허블 법칙에 v=H₀d를 넣으면 d/v=d/(H₀d)=1/H₀가 됩니다. 어느 거리를 골라도 d가 약분되므로 같은 시간이 나옵니다. 이것이 모든 은하의 움직임을 지금 속도로 거꾸로 돌리면 한 시점으로 모일 것처럼 보이는 이유입니다.

이 계산에는 ‘팽창 속도가 줄곧 지금과 같았다’는 가정이 숨어 있습니다. 자동차가 현재 시속 100km로 달린다는 정보만으로 출발 이후의 평균속도를 알 수 없는 것과 같습니다. 현재 거리와 현재 속도의 비는 유용한 시간 척도지만, 과거에 가속하거나 감속했다면 실제 경과 시간과 같지 않습니다.

허블 법칙은 팽창하는 공간에서 어떻게 나올까

우주론에서는 은하 사이의 현재 고유거리를 d(t)=a(t)χ로 씁니다. a(t)는 우주의 크기 변화를 나타내는 척도인자이고, χ는 우주 팽창만 따르는 두 은하 사이의 공변좌표 거리입니다. χ가 일정한 은하의 거리를 시간으로 미분하면 다음 관계가 나옵니다.

vrec = dd/dt = (da/dt)χ = [(da/dt)/a]d = H(t)d

H(t)=(da/dt)/a를 허블 매개변수라고 합니다. 아래첨자 0이 붙은 H₀는 그중 현재 시각 t₀의 값입니다. 이름에는 ‘상수’가 들어가지만 H(t)는 우주 역사에 따라 변합니다. H₀는 오늘의 값이라는 뜻에서 하나의 상수처럼 사용됩니다.

관측에서는 후퇴 속도를 어떻게 구할까

은하의 스펙트럼선을 관측하면 파장이 얼마나 길어졌는지 적색편이 z를 측정할 수 있습니다. z가 충분히 작으면 후퇴 속도를 v≈cz로 근사할 수 있습니다. 여기서 c는 진공 광속입니다. 별도의 거리 지표로 d를 측정하고 v와 d의 관계를 맞추면 H₀를 추정할 수 있습니다.

빛의 속도 자체가 어떻게 측정되고 이론적으로 정해졌는지 궁금하다면 올레 뢰머가 이오의 일식 지연으로 광속을 추정한 방법과 맥스웰 방정식에서 전자기파 속도를 유도하는 과정을 함께 볼 수 있습니다. 우주론에서는 이 광속이 적색편이와 거리, 빛의 이동 시간을 연결합니다.

가까운 은하에는 우주 팽창과 무관한 고유운동도 있습니다. 은하가 주변 은하나 은하단의 중력에 끌려 움직이는 속도입니다. 너무 가까운 천체에서는 수백 km/s 규모의 고유속도가 허블 흐름과 비슷하거나 더 클 수 있습니다. 그래서 정밀 측정은 충분히 먼 여러 은하를 사용하고 속도장의 통계적 영향을 보정합니다.

먼 우주에서는 v=cz와 v=H₀d를 그대로 쓰면 안 된다

적색편이가 커지면 z를 단순한 도플러 속도로 바꾸는 v=cz 근사는 정확하지 않습니다. 광자가 이동하는 동안 공간 자체가 팽창했고 H(t)도 바뀌었습니다. 이때는 선택한 우주론 모형에서 적색편이와 광도거리 또는 공변거리의 관계를 적분해야 합니다.

아주 먼 은하의 후퇴율을 고유거리 변화율로 정의하면 c보다 큰 값도 가능합니다. 이는 은하가 자기 주변의 공간을 통과해 빛보다 빠르게 달린다는 뜻이 아닙니다. 일반상대성이론의 팽창하는 시공간에서 멀리 떨어진 두 지점 사이의 거리가 늘어나는 비율이므로, 한 장소에서 측정되는 물체의 국소 속도는 여전히 c를 넘지 않습니다.

정확한 우주 나이는 팽창 이력을 적분한다

우주 나이 t₀는 척도인자가 0에 가까웠던 초기부터 현재 a=1까지 걸린 시간입니다. H=(1/a)(da/dt)이므로 dt=da/[aH(a)]입니다. 따라서 실제 계산식은 다음과 같습니다.

t₀ = ∫₀¹ da/[aH(a)] = ∫₀∞ dz/[(1+z)H(z)]

적분하려면 H가 a 또는 z에 따라 어떻게 달라졌는지 알아야 합니다. 표준적인 프리드만-르메트르 우주론에서 복사, 물질, 공간 곡률, 우주상수 형태의 암흑에너지를 포함하면 다음처럼 씁니다.

H(a)=H₀√(Ωr/a⁴ + Ωm/a³ + Ωk/a² + ΩΛ)

Ωr, Ωm, Ωk, ΩΛ는 현재의 임계밀도를 기준으로 한 복사·물질·곡률·암흑에너지 밀도 매개변수입니다. 같은 H₀라도 이 값들이 다르면 과거 팽창 이력이 달라지고 계산되는 나이도 달라집니다. 따라서 정확한 우주 나이는 H₀ 하나만의 함수가 아닙니다.

가상 우주를 비교하면 차이가 선명해진다

예를 들어 H₀가 같아도 물질만 있는 평탄한 우주의 나이는 허블 시간의 3분의 2입니다. H₀=70이면 허블 시간은 약 13.97Gyr이지만 이 모형의 나이는 약 9.31Gyr입니다. 현재 관측과 맞는 우주는 단순한 물질 전용 모형이 아니며 암흑에너지 성분이 들어갑니다.

복사와 곡률을 무시한 평탄한 물질+우주상수 모형에서는 적분을 해석적으로 계산할 수 있습니다.

t₀ = [2/(3H₀√ΩΛ)] asinh(√(ΩΛ/Ωm))

이 식은 허블 시간 1/H₀에 밀도 매개변수가 정하는 무차원 보정계수를 곱한 형태입니다. 실제 정밀 계산은 초기 우주의 복사와 중성미자 등도 포함하지만, 현재 우주의 나이를 이해하는 데에는 물질과 우주상수만 넣은 식도 매우 가까운 값을 줍니다.

Planck 관측값으로 허블 시간과 우주 나이 비교하기

Planck 위성의 2018년 자료를 기본 평탄 ΛCDM 모형으로 분석한 논문은 H₀=67.4±0.5km/s/Mpc, Ωm=0.315±0.007을 제시했습니다. 대표값 H₀=67.4의 역수를 계산하면 허블 시간은 약 14.51Gyr, 즉 145.1억 년입니다.

평탄성을 가정해 ΩΛ≈0.685를 넣으면 위 해석식의 보정계수는 약 0.951입니다. 14.51Gyr×0.951≈13.80Gyr가 됩니다. Planck 자료의 더 완전한 계산에서 보고된 우주 나이 약 13.80Gyr와 맞습니다. 허블 시간과 실제 모형 나이가 가깝지만 정확히 같지는 않음을 숫자로 확인할 수 있습니다.

허블 상수는 현재 하나의 값으로 합의됐을까

측정 방법에 따라 정밀한 H₀ 값이 일치하지 않는 문제가 남아 있습니다. Planck 우주배경복사 자료를 기본 ΛCDM 모형으로 해석하면 약 67.4km/s/Mpc가 나옵니다. 세페이드 변광성과 Ia형 초신성으로 구성한 국소 거리사다리를 사용한 SH0ES 연구는 73.04±1.04km/s/Mpc를 보고했습니다.

이 차이를 허블 텐션이라고 부릅니다. NASA가 2024년에 소개한 허블·제임스 웹 우주망원경의 교차검증에서도 거리사다리의 단순한 허블 관측 오류만으로 차이가 사라지지 않았습니다. 원인이 알려진 계통오차인지, 표준 우주론 모형에 추가 물리가 필요한지는 확정되지 않았습니다. 따라서 어느 숫자가 ‘유일하게 올바른 현재값’이라고 단정해서는 안 됩니다.

H₀=73.04만 단순히 뒤집으면 허블 시간은 약 13.39Gyr입니다. 하지만 이 숫자를 곧바로 그 측정이 뜻하는 정확한 우주 나이라고 읽을 수는 없습니다. 국소 H₀ 측정은 현재 팽창률을 재는 작업이고, 우주 나이를 얻으려면 일관된 우주론 모형과 다른 밀도 매개변수를 함께 정해야 합니다.

허블 반지름은 우주의 크기가 아니다

허블 시간에 광속을 곱한 c/H₀를 허블 반지름이라고 합니다. H₀=70km/s/Mpc라면 약 4.28Gpc, 약 140억 광년입니다. 현재 허블 법칙으로 계산한 후퇴율이 c가 되는 거리 척도입니다.

이 값을 관측 가능한 우주의 반지름이나 빅뱅 때 빛이 단순히 이동한 거리와 같다고 보면 안 됩니다. 우주가 팽창하는 동안 광자가 지나온 공간의 크기도 달라졌기 때문입니다. 입자지평선, 사건지평선, 허블 반지름은 정의가 서로 다른 우주론적 거리입니다.

우주 팽창에는 중심이 있을까

균일하고 등방적인 우주에서는 어느 은하에서 보더라도 충분히 먼 은하들이 거리에 비례해 멀어지는 허블 흐름을 관측합니다. 팽창은 이미 존재하는 바깥 공간으로 물질이 폭발해 나가는 과정으로 모델링되지 않습니다. 공간의 거리 척도 자체가 시간에 따라 변하는 현상입니다. 따라서 v=H₀d만으로 우리 은하가 팽창의 중심이라는 결론은 나오지 않습니다.

왜 허블-르메트르 법칙이라고도 부를까

조르주 르메트르는 1927년 일반상대성이론의 팽창 우주 해를 제시하고 당시 자료에서 거리와 속도의 비례 관계를 추정했습니다. 에드윈 허블은 1929년 외부은하의 거리와 속도 자료를 정리해 관측 관계를 널리 확립했습니다. 국제천문연맹은 두 사람의 기여를 함께 인정하기 위해 2018년 ‘허블 법칙’을 ‘허블-르메트르 법칙’으로 부를 것을 권고했습니다.

역사적 명칭과 별개로 식의 물리적 의미는 같습니다. 가까운 우주에서 후퇴 속도가 거리에 비례하고, 비례상수 H₀가 현재 우주의 팽창률을 나타냅니다. 글이나 검색에서는 허블 법칙과 허블-르메트르 법칙이 모두 쓰입니다.

별의 밝기와 거리는 왜 H₀ 측정에 중요할까

허블 법칙의 기울기를 구하려면 속도뿐 아니라 은하까지의 거리가 필요합니다. 세페이드 변광성의 주기-광도 관계, Ia형 초신성의 보정된 밝기처럼 절대광도를 추정할 수 있는 천체가 거리사다리에 사용됩니다. 관측 밝기와 본래 광도를 비교해 거리를 구한 뒤 적색편이와 연결합니다.

별의 온도와 반지름에서 총복사 광도를 계산하는 기본 관계는 슈테판-볼츠만 법칙과 T⁴ 복사출력 계산에서 확인할 수 있습니다. 실제 거리사다리는 단순 흑체 계산보다 복잡한 보정과 교차검증을 사용하지만, 밝기와 거리의 관계를 이해하는 데 필요한 물리적 배경이 됩니다.

계산할 때 자주 생기는 오류

1. H₀의 역수를 구하기 전에 Mpc를 km로 바꾸지 않아 단위가 남는 오류를 피합니다.
2. 1/H₀를 조건 없이 정확한 우주 나이라고 부르지 않습니다.
3. H₀와 시간에 따라 변하는 H(t)를 같은 뜻으로 사용하지 않습니다.
4. 큰 적색편이에서 v=cz와 v=H₀d를 정밀식처럼 적용하지 않습니다.
5. 허블 반지름 c/H₀를 관측 가능한 우주의 전체 반지름과 같다고 보지 않습니다.
6. 국소 거리사다리 값과 우주배경복사 기반 값을 모형 조건 없이 직접 혼합하지 않습니다.

허블의 법칙과 우주 나이 핵심 정리

• 가까운 우주에서 은하의 후퇴 속도와 거리는 v=H₀d로 연결됩니다.
• H₀의 단위는 역시간으로 바꿀 수 있어 1/H₀가 허블 시간이 됩니다.
• H₀=70km/s/Mpc이면 허블 시간은 약 13.97Gyr입니다.
• 실제 우주 나이는 t₀=∫da/[aH(a)]로 팽창 이력을 적분해 계산합니다.
• Planck 기본 ΛCDM 대표값은 허블 시간 약 14.51Gyr와 우주 나이 약 13.80Gyr를 줍니다.
• 현재 H₀에는 약 67과 약 73 사이의 측정 불일치인 허블 텐션이 남아 있습니다.

자주 묻는 질문

1/H₀가 우주 나이와 비슷한 것은 우연인가요?

H₀는 현재의 상대적 팽창률이므로 그 역수는 자연스럽게 우주론적 시간 척도를 만듭니다. 실제 값이 우주 나이와 특히 가까운 데에는 초기의 감속 효과와 후기의 가속 효과가 함께 작용한 현재의 우주 구성도 관련됩니다. 두 값이 정의상 반드시 같아야 하는 것은 아닙니다.

허블 상수가 시간에 따라 변한다면 왜 상수라고 하나요?

시간에 따라 변하는 전체 함수는 H(t)이고, 허블 상수 H₀는 그 함수의 현재값입니다. 특정 시각에 평가한 하나의 수이므로 현재 우주를 설명하는 모형 매개변수로는 상수입니다. 명칭 때문에 H(t)가 모든 시대에 같다고 해석해서는 안 됩니다.

H₀가 70이면 100Mpc 거리 은하의 속도는 정확히 7,000km/s인가요?

허블 흐름 성분은 약 7,000km/s로 계산되지만 개별 은하에는 고유속도가 더해집니다. 거리 측정과 적색편이에도 불확도가 있습니다. 따라서 실제 관측값은 정확히 한 직선 위에 놓이지 않으며 많은 은하의 자료에서 통계적으로 기울기를 구합니다.

우주 나이 138억 년은 H₀만 측정한 결과인가요?

아닙니다. 정밀한 나이는 H₀와 함께 물질 밀도, 암흑에너지 밀도, 공간 곡률, 초기 우주의 복사 성분 등을 포함한 우주론 모형을 관측 자료에 맞춰 얻습니다. H₀의 역수는 계산 결과의 규모를 이해하는 좋은 출발점이지만 전체 추론을 대신하지 않습니다.

참고 자료

• Planck Collaboration, Planck 2018 results VI: Cosmological parameters
• Riess 외, SH0ES의 국소 허블 상수 측정
• NASA, Hubble Constant and Tension
• NASA, Webb와 Hubble의 팽창률 교차검증
• 국제천문연맹, 허블-르메트르 법칙 명칭 권고