음악 12평균율의 수학: 반음이 2의 12제곱근인 이유

피아노에서 바로 옆 건반으로 한 칸 올라가면 소리가 조금 높아집니다. 이때 주파수에 일정한 수를 더하는 것이 아니라 바로 전 주파수에 약 1.05946을 곱합니다. 이 곱셈을 12번 반복하면 주파수는 정확히 2배가 되고 한 옥타브 위의 같은 음이 나옵니다. 오늘날 피아노와 전자 악기에서 널리 쓰이는 12평균율의 기본 계산입니다.

12평균율에서는 한 옥타브를 12개의 같은 반음으로 나눕니다. 여기서 ‘같다’는 주파수 차이가 같다는 뜻이 아니라 인접한 두 음의 주파수 비율이 같다는 뜻입니다. 반음의 공통비를 r이라고 하면 r을 12번 곱한 값이 2가 되어야 하므로 r¹²=2입니다. 따라서 r=2^(1/12)≈1.059463094가 됩니다. 이 글에서는 이 식이 나오는 과정부터 실제 음계 주파수, 센트와 MIDI 변환, 순정률과의 오차, 실제 악기 조율의 한계까지 계산해 보겠습니다.

주파수와 음높이는 어떻게 연결될까

주파수는 1초 동안 진동이 몇 번 반복되는지를 나타내며 단위는 헤르츠(Hz)입니다. 440 Hz인 소리는 1초에 440번 진동합니다. 주기적인 소리에서는 일반적으로 주파수가 높아질수록 지각되는 음높이도 올라갑니다. 다만 음높이는 사람이 느끼는 청각적 속성이고 주파수는 물리량이므로 두 단어가 완전히 같은 뜻은 아닙니다.

음악에서 옥타브는 주파수 비율 2:1로 정의됩니다. 220 Hz의 한 옥타브 위는 440 Hz이고, 그 위는 880 Hz입니다. 반대로 한 옥타브 아래는 주파수를 2로 나눈 110 Hz입니다. 110 Hz에서 220 Hz로 갈 때의 차이는 110 Hz이고 440 Hz에서 880 Hz로 갈 때의 차이는 440 Hz지만, 두 구간은 모두 같은 한 옥타브입니다. 음악적 간격을 주파수의 뺄셈보다 비율로 다루는 이유가 여기에 있습니다.

반음 간격이 2의 12제곱근이 되는 계산

기준음의 주파수를 f라고 하고 반음 한 칸마다 같은 비율 r을 곱한다고 하겠습니다. 한 칸 위는 fr, 두 칸 위는 fr², 세 칸 위는 fr³입니다. 열두 칸을 모두 올라가면 fr¹²이 됩니다. 이 음은 정확히 한 옥타브 위이므로 주파수가 2f여야 합니다.

fr¹²=2f → r¹²=2 → r=2^(1/12)≈1.059463094359

따라서 반음 한 칸을 올릴 때마다 주파수는 약 5.9463% 증가합니다. 소수로 표시한 1.05946은 근삿값이고 정확한 값은 무리수 2^(1/12)입니다. 근삿값 1.05946을 열두 번 곱하면 반올림 오차가 생기지만, 정확한 식을 사용하면 {2^(1/12)}¹²=2가 됩니다.

이 구조는 A계열 종이를 반으로 잘라도 같은 모양이 유지되도록 변의 비율을 √2로 정하는 원리와 닮았습니다. 종이는 두 단계의 닮음 조건에서 √2가 나오고, 평균율은 열두 번의 동일한 비율 곱셈이 2가 되는 조건에서 2의 12제곱근이 나옵니다. 자세한 닮음비 계산은 A4 용지 비율이 √2가 되는 이유에서 확인할 수 있습니다.

왜 440 Hz부터 880 Hz까지 12로 나누면 안 될까

440 Hz와 880 Hz의 차이 440 Hz를 12로 나누면 한 칸당 약 36.667 Hz가 됩니다. 이 값을 계속 더하면 440, 476.667, 513.333 Hz처럼 늘어납니다. 차이는 일정하지만 비율은 일정하지 않습니다. 첫 구간의 비율은 476.667/440≈1.08333이고 마지막 구간의 비율은 880/843.333≈1.04348입니다. 아래쪽 반음은 넓고 위쪽 반음은 좁아집니다.

12평균율은 산술수열이 아니라 등비수열입니다. 주파수에 같은 값을 더하는 대신 같은 비율을 곱해야 모든 반음의 음악적 간격이 같아집니다. 로그를 취하면 곱셈 관계가 덧셈 관계로 바뀝니다. log₂(2)=1인 옥타브를 12등분하면 각 반음의 로그 간격은 1/12이 되고, 다시 지수로 되돌리면 2^(1/12)이 됩니다.

기준음에서 n반음 떨어진 주파수 공식

기준 주파수를 f₀, 기준음에서 떨어진 반음 수를 n이라고 하면 12평균율 주파수는 다음 식으로 구합니다. 위로 올라갈 때 n은 양수이고 아래로 내려갈 때는 음수입니다. n=12이면 2배, n=-12이면 1/2배가 됩니다.

fₙ=f₀×2^(n/12)

국제표준화기구의 ISO 16:1975는 높은음자리표의 A음, 즉 보통 A4라고 부르는 음의 표준 조율 주파수를 440 Hz로 정합니다. 이 표준은 2022년에 재검토되어 현행으로 확인됐습니다. A4를 기준으로 삼으면 n반음 떨어진 음은 f=440×2^(n/12) Hz로 계산할 수 있습니다. 다만 실제 연주 단체가 언제나 440 Hz만 사용하는 것은 아닙니다. ISO 자료도 유럽의 일부 오케스트라가 442 Hz 같은 다른 기준을 쓰는 사례를 설명합니다.

가운데 도인 C4는 A4보다 9반음 아래에 있습니다. 따라서 440×2^(-9/12)≈261.6256 Hz입니다. A4에서 완전5도 위인 E5는 7반음 위이므로 440×2^(7/12)≈659.2551 Hz입니다. 기준음이 바뀌어도 공식의 구조는 같고 f₀만 달라집니다.

A4 440 Hz에서 A5 880 Hz까지 실제 주파수표

표에서 인접한 주파수의 차이는 위로 갈수록 커집니다. A4와 A♯4의 차이는 약 26.164 Hz지만 G♯5와 A5의 차이는 약 49.391 Hz입니다. 그래도 두 구간의 비율은 모두 2^(1/12)입니다. 12평균율에서 같게 만든 것은 헤르츠 차이가 아니라 로그 주파수 간격이라는 사실을 숫자로 확인할 수 있습니다.

주파수에서 반음 수를 거꾸로 구하는 로그 공식

주파수를 알고 있을 때 기준음에서 몇 반음 떨어졌는지 구하려면 로그를 사용합니다. f/f₀=2^(n/12)의 양변에 밑이 2인 로그를 취하면 log₂(f/f₀)=n/12가 되고, 이를 n에 대해 정리하면 다음 식이 나옵니다.

n=12×log₂(f/f₀)

예를 들어 660 Hz가 A4 440 Hz보다 얼마나 높은지 계산하면 n=12×log₂(660/440)=12×log₂(1.5)≈7.01955반음입니다. 12평균율의 7반음은 659.255 Hz이므로 660 Hz는 그보다 약간 높습니다. 복리에서 배수가 되는 시간을 로그로 역산하는 방식은 72의 법칙과 정확한 복리 계산에서도 같은 수학 구조로 나타납니다.

센트는 음정을 재는 로그 단위입니다

센트(cent)는 한 옥타브를 1,200개의 같은 로그 간격으로 나눈 단위입니다. 따라서 12평균율의 반음은 정확히 100센트이고 온음 두 칸은 200센트입니다. 두 주파수 f₁과 f₂ 사이의 간격은 다음 공식으로 계산합니다.

센트 차이=1200×log₂(f₂/f₁)

f₂/f₁=2이면 1,200센트이고, f₂/f₁=2^(1/12)이면 100센트입니다. 주파수 비율이 1에 가까운 작은 차이도 센트로 바꾸면 음정 차이를 같은 척도에서 비교하기 쉽습니다. 다만 몇 센트 차이를 실제로 구별할 수 있는지는 음역, 음색, 소리의 지속시간과 듣는 사람 등 여러 조건에 따라 달라지므로 하나의 고정된 청각 한계로 단정할 수 없습니다.

MIDI 번호를 주파수로 바꾸는 공식

MIDI에서는 반음마다 정수 번호가 하나씩 증가합니다. A4는 MIDI 번호 69이고 가운데 도 C4는 60입니다. A4=440 Hz를 기준으로 MIDI 번호 m의 주파수는 다음과 같습니다. MIDI Association 자료도 69번을 440 Hz로 제시합니다.

f=440×2^((m-69)/12) Hz

m=60을 넣으면 440×2^(-9/12)≈261.6256 Hz로 C4가 나옵니다. 반대로 주파수에서 MIDI 번호를 구하려면 m=69+12×log₂(f/440)을 사용합니다. 결과가 정수가 아니면 해당 주파수가 12평균율 건반의 정확한 중심 주파수 사이에 있다는 뜻입니다. 실제 MIDI 장치는 피치 벤드나 미세 조율 기능을 통해 정수 음표 사이의 음높이도 표현할 수 있습니다.

왜 한 옥타브를 하필 12개로 나누었을까

12라는 수는 단순히 옥타브를 나누기 편해서 임의로 고른 수가 아닙니다. 주파수 비율 3:2인 순수한 완전5도를 계속 쌓으면 열두 번째 5도에서 처음 음과 같은 음이름 근처로 돌아옵니다. 열두 번의 5도는 음역을 정리하면 일곱 옥타브에 대응하지만 두 값은 정확히 같지 않습니다.

순수한 5도 12개: (3/2)¹²≈129.7463, 옥타브 7개: 2⁷=128

두 값의 비는 (3/2)¹²/2⁷=531441/524288≈1.013643입니다. 센트로는 약 23.46센트이며 이를 피타고라스 콤마라고 합니다. 순수한 5도를 그대로 유지하면 원을 완전히 닫을 수 없기 때문에 고정된 건반에서 모든 조를 같은 구조로 연주하기 어렵습니다. 12평균율은 이 불일치를 열두 5도에 나누어 각 5도를 조금씩 좁히는 방식으로 해결합니다.

평균율의 완전5도는 7반음이므로 2^(7/12)≈1.498307, 정확히 700센트입니다. 순수한 3:2 완전5도는 약 701.955센트이므로 평균율 5도가 약 1.955센트 좁습니다. 이 작은 조정 덕분에 700센트짜리 5도 열두 개는 8,400센트가 되고, 1,200센트짜리 옥타브 일곱 개와 정확히 일치합니다.

12평균율과 순정률의 음정은 얼마나 다를까

순정률은 3:2, 5:4, 6:5처럼 작은 정수의 비율로 음정을 맞춥니다. 이런 비율은 이상적인 배음 관계와 정확히 맞지만, 고정된 음높이의 건반에서는 조를 바꿀 때 같은 건반이 서로 다른 비율을 동시에 만족할 수 없습니다. 12평균율은 옥타브를 제외한 여러 음정을 조금씩 조정해 어느 조에서나 같은 반음 간격을 사용하도록 만든 절충 체계입니다.

따라서 12평균율을 모든 음정이 자연 배음비와 완전히 일치하는 체계라고 설명하면 틀립니다. 정확히 보존되는 핵심 간격은 2:1 옥타브입니다. 완전5도는 순정률에 매우 가깝지만 같지는 않고, 장3도와 단3도의 차이는 더 큽니다. 대신 모든 반음이 같은 비율이므로 조옮김과 전조를 해도 음정 패턴이 유지됩니다. G♯와 A♭처럼 표기는 달라도 같은 건반을 사용하는 이명동음도 12평균율에서는 같은 주파수가 됩니다.

12평균율 계산의 역사

12평균율의 역사는 한 사람이나 한 지역의 단순한 발명 이야기로 정리하기 어렵습니다. Music Theory Spectrum에 실린 Alexander Rehding의 연구에 따르면, 12음 평균율은 16세기 후반 명나라 중국과 유럽에서 거의 같은 시기에 수학적으로 정식화됐습니다. 명나라의 음악 이론가이자 수학자인 주재육(朱載堉, Zhu Zaiyu)은 1584년 저술에서 12평균율의 정밀한 계산을 제시했습니다.

유럽에서도 비슷한 시기에 평균율 계산이 전개됐습니다. 다만 수학식이 알려진 시점과 실제 악기 조율 관행이 널리 바뀐 시점은 같지 않습니다. 조율 체계는 악기 제작 기술과 연주 관습, 음악 양식 속에서 점진적으로 자리 잡았습니다. 그러므로 12평균율이 특정 연도부터 모든 음악에 일제히 적용됐다고 말하거나, 오늘날 세계의 모든 음악이 12평균율을 쓴다고 일반화해서는 안 됩니다.

기타 프렛 간격에도 2의 12제곱근이 들어갑니다

이상적인 줄의 기본 진동수는 f=(1/2L)√(T/μ)로 나타낼 수 있습니다. L은 진동하는 줄의 길이, T는 장력, μ는 단위 길이당 질량입니다. 장력과 선밀도가 같다면 주파수는 줄 길이에 반비례합니다. 반음 높이려면 주파수를 2^(1/12)배 해야 하므로 진동 길이는 2^(-1/12)배로 줄여야 합니다.

n번째 프렛의 진동 길이 Lₙ=L₀×2^(-n/12)

너트에서 브리지까지의 스케일 길이가 650 mm인 기타를 이상적으로 계산하면 첫 프렛 뒤의 진동 길이는 650×2^(-1/12)≈613.52 mm입니다. 따라서 첫 프렛은 너트에서 약 36.48 mm 떨어진 곳에 놓입니다. 열두 번째 프렛에서는 진동 길이가 325 mm로 정확히 절반이 되어 주파수가 2배로 올라갑니다. 실제 기타는 줄을 프렛에 누를 때 장력과 길이가 함께 변하므로 브리지 위치 보정과 인토네이션 조정이 필요합니다.

실제 피아노가 공식과 정확히 같지 않을 수 있는 이유

이상적인 줄의 배음 주파수는 기본 주파수의 정확한 정수배입니다. 그러나 실제 피아노 줄은 굵기와 강성이 있어 높은 진동 모드가 정수배보다 조금 높아지는 비조화성(inharmonicity)이 생깁니다. 이 때문에 조율사는 높은 음을 이론적 12평균율보다 조금 높이고 낮은 음을 조금 낮추는 스트레치 조율을 적용할 수 있습니다. 실제 피아노의 옥타브 비율은 특히 높은 음역과 낮은 음역에서 2:1보다 조금 커질 수 있습니다.

따라서 440×2^(n/12)은 12평균율의 이론적 기준 주파수입니다. 디지털 발진기에서는 이 값을 정밀하게 만들 수 있지만 실제 현악기와 관악기는 재료, 온도, 운지, 취구와 연주자의 조정에 따라 달라집니다. 오케스트라의 기준 A가 442 Hz라면 모든 계산의 기준도 440이 아니라 442가 됩니다. 12평균율이라는 간격 체계와 A4를 몇 Hz로 정하는 기준 음고는 별개의 선택입니다.

12평균율에 관해 자주 묻는 질문

반음이 올라갈 때마다 정확히 5.946%씩 더하나요?

바로 전 주파수에 약 5.9463%를 더하는 것과 같습니다. 다만 증가하는 헤르츠 수는 매번 달라집니다. 정확한 계산에서는 반올림된 백분율 대신 2^(1/12)을 계속 곱하거나 f=f₀×2^(n/12)을 한 번 사용해야 누적 오차를 줄일 수 있습니다.

A4는 언제나 440 Hz인가요?

ISO 16은 A음의 표준 조율 주파수를 440 Hz로 정하지만 모든 공연과 역사적 연주가 이 값을 의무적으로 쓰는 것은 아닙니다. 현대 오케스트라 중에는 442 Hz를 쓰는 곳도 있고, 시대 연주에서는 다른 기준 음고를 사용할 수 있습니다. 기준이 달라져도 인접 반음의 비율을 2^(1/12)로 유지하면 12평균율입니다.

12평균율에서 C♯과 D♭은 정말 같은 소리인가요?

고정된 12평균율 건반에서는 같은 건반과 같은 기준 주파수를 가리킵니다. 그러나 음이름의 화성적 기능은 다르고, 평균율이 아닌 조율이나 음높이를 연속적으로 조절할 수 있는 성악·현악 연주에서는 문맥에 따라 실제 음높이가 달라질 수 있습니다.

12평균율의 모든 화음은 완벽한 정수비인가요?

아닙니다. 옥타브는 정확히 2:1이지만 완전5도는 순수한 3:2보다 약 1.955센트 좁고, 장3도는 순수한 5:4보다 약 13.686센트 넓습니다. 평균율은 순수한 정수비를 모두 보존하는 방식이 아니라 어떤 조에서도 같은 간격 구조를 쓸 수 있도록 오차를 배분한 방식입니다.

한 옥타브를 24등분하면 한 칸의 비율은 얼마인가요?

같은 원리로 2^(1/24)≈1.029302입니다. 일반적으로 옥타브를 N개의 같은 로그 간격으로 나누는 N평균율의 한 단계 비율은 2^(1/N)입니다. 12평균율은 N=12인 특별한 경우입니다.

음악 12평균율 계산 핵심 정리

한 옥타브는 주파수가 2배가 되는 간격입니다. 이 간격을 같은 주파수 비율을 가진 반음 12개로 나누려면 공통비 r이 r¹²=2를 만족해야 합니다. 따라서 반음 한 칸의 정확한 비율은 r=2^(1/12)이고 근삿값은 1.059463094입니다. 기준음 f₀에서 n반음 떨어진 음의 주파수는 f=f₀×2^(n/12)으로 계산합니다.

A4=440 Hz를 기준으로 C4는 약 261.626 Hz, C5는 약 523.251 Hz, A5는 880 Hz입니다. 한 반음은 100센트이고 두 주파수의 센트 차이는 1200×log₂(f₂/f₁)입니다. 12평균율은 옥타브를 정확히 보존하지만 완전5도와 장3도 같은 간격은 순정률의 정수비와 조금 다릅니다. 이 차이는 계산 오류가 아니라 모든 조에서 동일한 반음 구조를 사용하기 위해 선택한 조율 방식의 결과입니다. 무리수 비율이 반복 과정에서 특정 값으로 이어지는 또 다른 사례는 피보나치 수열과 황금비의 수렴 계산에서 살펴볼 수 있습니다.

참고 자료

• ISO, ISO 16:1975 Acoustics — Standard tuning frequency
• University of New South Wales, Note names, MIDI numbers and frequencies
• University of New South Wales, Strings, standing waves and harmonics
• Music Theory Online, Algorithms for Tunings and Temperaments
• Alexander Rehding, Fine-Tuning a Global History of Music Theory, Music Theory Spectrum 44(2)
• MIDI Association, MIDI Octave and Note Numbering Standard
• OpenStax University Physics, Standing Waves and Resonance
• University of New South Wales, How harmonic are harmonics?