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앳킨슨 불평등 지수 계산법: ε와 등가 균등 소득의 의미

앳킨슨 불평등 지수가 평균소득과 등가 균등 소득의 차이를 어떻게 측정하는지 알아봅니다. 불평등 회피 모수 ε=0.5·1·2의 계산, 지니계수와의 차이, 0소득 처리 주의점까지 설명합니다.

모두의 계산기2026년 9월 22일7분 읽기

평균소득이 똑같은 두 사회가 있다고 생각해 보겠습니다. 한 사회에서는 모두가 비슷한 소득을 받고 다른 사회에서는 소득 차이가 매우 큽니다. 평균만 보면 두 사회는 같지만 소득 분포까지 같다고 말할 수는 없습니다. 앳킨슨 불평등 지수(Atkinson inequality index)는 이 차이를 ‘모두가 같은 소득을 받을 때 현재와 동일한 사회후생을 만드는 소득은 얼마인가’라는 질문으로 바꿔 계산합니다.

이때 핵심이 등가 균등 소득(equally distributed equivalent income, EDE)과 불평등 회피 모수 ε입니다. EDE는 현재의 불균등한 소득 분포와 같은 수준의 사회후생을 주는 균등 소득이고, ε는 낮은 소득에 얼마나 큰 사회적 가중치를 둘지 정합니다. 평균소득을 μ, 등가 균등 소득을 yₑ라고 하면 앳킨슨 지수는 A=1-yₑ/μ입니다. 지수가 클수록 선택한 ε 아래에서 불평등에 따른 사회후생 손실이 크게 평가됩니다.

앳킨슨 불평등 지수는 왜 만들어졌을까

영국 경제학자 앤서니 B. 앳킨슨(Anthony B. Atkinson)은 1970년 Journal of Economic Theory에 〈On the Measurement of Inequality〉를 발표했습니다. 당시에도 분산, 변이계수와 지니계수 같은 요약 지표가 사용되고 있었습니다. 앳킨슨은 어떤 불평등 측정값을 선택하든 그 뒤에는 소득 분포를 어떻게 평가할지에 관한 판단이 들어간다는 점을 분명히 다뤘습니다.

앳킨슨 지수의 특징은 그 판단을 ε라는 모수로 밖에 드러낸다는 데 있습니다. 낮은 소득을 더 중요하게 보는 정도가 달라지면 같은 자료에서도 지수가 달라집니다. 숫자 하나가 가치판단과 완전히 분리된 객관적 불평등을 알려 주는 것이 아니라, 어떤 사회후생함수를 선택했는지 밝힌 뒤 그 기준에서 분포를 평가합니다.

등가 균등 소득 EDE란 무엇인가

등가 균등 소득은 모든 사람이 똑같이 그 금액을 받을 때 현재의 불균등한 분포와 동일한 사회후생을 만드는 1인당 소득입니다. 예를 들어 평균소득이 50이고 EDE가 40이라면 현재 분포가 주는 사회후생은 모두가 40씩 받는 균등 분포의 사회후생과 같다고 평가됩니다. 여기서 사회후생은 선택한 효용함수와 ε에 따라 계산된 이론적 값입니다.

앳킨슨 지수 Aε=1-(등가 균등 소득/평균소득)=1-yₑ/μ

위 예에서 A=1-40/50=0.2입니다. 이를 ‘평균소득의 20%에 해당하는 불평등 비용’이라고 해석할 수 있습니다. 정확히 말하면 모든 소득을 균등하게 나눌 수 있다는 가상 조건에서 현재 평균소득의 80%만으로도 같은 사회후생을 얻는다는 뜻입니다. 실제 국민소득의 20%가 회계상 사라졌다는 말도 아니고, 재분배 정책으로 반드시 20%의 소득을 절약할 수 있다는 예측도 아닙니다.

불평등 회피 모수 ε의 정확한 의미

ε는 엡실론이라고 읽으며 보통 불평등 회피 모수라고 부릅니다. ε가 클수록 낮은 소득에 더 큰 가중치를 부여하고 분포의 하단 변화에 민감하게 반응합니다. ε가 0에 가까우면 소득을 누구에게 배분하는지보다 총소득과 평균을 주로 보게 됩니다. ε=0에서는 어떤 분포라도 앳킨슨 지수가 0이 되어 불평등을 전혀 반영하지 않습니다.

이 모수는 표본에서 자동으로 추정되는 자연상수가 아닙니다. 연구자나 정책 분석자가 사회후생을 평가하는 기준으로 선택합니다. 뉴질랜드 재무부의 불평등 측정 연구도 이를 단순히 ‘사회의 실제 불평등 혐오’를 관측한 값이라고 부르는 것은 부정확하다고 지적합니다. 누가 어떤 근거로 ε를 정했는지 밝히고 여러 ε의 결과를 함께 제시해야 해석이 투명해집니다.

앳킨슨 지수의 사회후생함수에서 소득 y의 한계 사회적 가중치는 y^(-ε)에 비례합니다. 소득이 25인 사람과 100인 사람을 비교하면 저소득자의 한계 가중치는 고소득자의 4^ε배가 됩니다. ε=0.5이면 2배, ε=1이면 4배, ε=2이면 16배입니다. 같은 1원의 변화라도 ε가 커질수록 낮은 소득에서 일어나는 변화에 훨씬 큰 비중을 두는 구조입니다.

ε	저소득 25와 고소득 100의 한계 가중치 비	계산 결과의 성격
0	4⁰=1배	분포와 관계없이 A=0
0.5	4^0.5=2배	낮은 소득에 비교적 완만한 가중
1	4¹=4배	EDE가 기하평균
2	4²=16배	EDE가 조화평균, 하단에 매우 민감

ε가 1이 아닐 때 앳킨슨 지수 공식

소득이 y₁, y₂, …, yₙ이고 평균소득이 μ일 때 ε≠1인 앳킨슨 지수는 다음과 같습니다. 괄호 안은 평균으로 정규화한 소득의 1-ε 거듭제곱 평균입니다. 같은 식을 먼저 EDE를 구한 뒤 평균소득으로 나누는 두 단계로 적을 수도 있습니다.

Aε=1-[{(1/n)Σ(yᵢ/μ)^(1-ε)}]^(1/(1-ε)), ε≠1

yₑ=[(1/n)Σyᵢ^(1-ε)]^(1/(1-ε)), Aε=1-yₑ/μ

EDE 식은 일반화된 평균, 즉 멱평균의 하나입니다. ε=0이면 차수가 1이라 산술평균이 되고 EDE와 μ가 같아 A=0입니다. ε=0.5이면 차수가 0.5인 평균을 사용합니다. ε가 커지면 멱평균의 차수가 낮아져 작은 소득이 결과에 더 큰 영향을 미칩니다.

ε=1에서는 왜 별도의 공식을 사용할까

일반식에 ε=1을 그대로 넣으면 지수 1/(1-ε)의 분모가 0이 됩니다. 하지만 ε가 1로 가까워질 때의 극한은 존재합니다. 이 극한에서 등가 균등 소득은 각 소득의 기하평균이 됩니다. 모든 소득이 양수일 때 다음 식을 사용합니다.

yₑ=exp[(1/n)Σln(yᵢ)]=(y₁y₂…yₙ)^(1/n)

A₁=1-(기하평균/산술평균)

기하평균은 산술평균보다 작거나 같고 모든 소득이 같을 때만 두 평균이 같습니다. 따라서 양의 소득 자료에서 A₁은 음수가 되지 않으며 완전한 균등 분포에서는 0입니다. 소득 격차가 커질수록 기하평균이 산술평균에 비해 낮아져 지수가 커집니다.

네 사람의 소득으로 앳킨슨 지수 계산하기

네 사람의 소득을 20, 30, 50, 100이라고 하겠습니다. 총소득은 200이고 평균소득 μ는 50입니다. 같은 자료에 ε=0.5, 1, 2를 각각 적용해 보겠습니다. 소득 단위는 만 원이나 달러처럼 무엇을 사용해도 되며 모두 같은 양수 배율로 바꾸면 지수는 변하지 않습니다.

ε=0.5 계산

ε=0.5이면 1-ε=0.5이고 1/(1-ε)=2입니다. 각 소득의 제곱근을 평균한 뒤 다시 제곱하면 EDE가 됩니다.

yₑ=[(√20+√30+√50+√100)/4]²≈45.6315

A₀.₅=1-45.6315/50≈0.08737

ε=0.5에서는 앳킨슨 지수가 약 0.0874입니다. 선택한 사회후생함수 아래에서 모두가 평균소득의 약 91.26%인 45.63을 똑같이 받는 분포가 현재 분포와 같은 사회후생을 준다는 의미입니다.

ε=1 계산

ε=1에서는 네 소득의 기하평균을 구합니다. 20×30×50×100=3,000,000이고 네제곱근은 약 41.6179입니다.

yₑ=(20×30×50×100)^(1/4)≈41.6179

A₁=1-41.6179/50≈0.16764

같은 소득 자료인데도 ε=0.5일 때보다 값이 커졌습니다. 평균이나 자료가 바뀐 것이 아니라 낮은 소득에 부여한 가중치가 커졌기 때문입니다. 지수를 비교할 때 ε를 함께 적지 않으면 서로 다른 평가 기준을 같은 숫자인 것처럼 오해할 수 있습니다.

ε=2 계산

ε=2이면 1-ε=-1이므로 EDE는 조화평균이 됩니다. 각 소득의 역수를 평균한 뒤 다시 역수를 취합니다.

yₑ=4/(1/20+1/30+1/50+1/100)≈35.2941

A₂=1-35.2941/50≈0.29412

ε	등가 균등 소득 EDE	평균소득 μ	앳킨슨 지수
0.5	45.6315	50	0.0874
1	41.6179	50	0.1676
2	35.2941	50	0.2941

표는 ε가 커질수록 같은 분포의 지수가 커질 수 있음을 보여 줍니다. 그렇다고 ε=2가 ε=0.5보다 통계적으로 더 정확하다는 뜻은 아닙니다. 두 값은 서로 다른 불평등 회피 기준을 적용한 결과입니다. 어느 값을 쓸지는 연구 목적과 공개된 가치판단에 달려 있습니다.

가난한 사람에게 소득을 이전하면 지수는 어떻게 달라질까

소득이 10, 30, 60, 100인 분포에서 세 번째 사람의 소득 10을 첫 번째 사람에게 옮기면 20, 30, 50, 100이 됩니다. 총소득과 평균소득 50은 그대로이고 두 사람의 순위도 뒤바뀌지 않습니다. 부유한 사람에게서 가난한 사람에게 소득을 옮겨 격차를 줄인 피구·달튼 이전의 예입니다.

소득 분포	A(ε=0.5)	A(ε=1)	A(ε=2)
10, 30, 60, 100	0.1298	0.2674	0.5000
20, 30, 50, 100	0.0874	0.1676	0.2941

모든 ε에서 지수가 낮아졌고 ε가 클수록 하단 소득의 변화에 더 크게 반응했습니다. 앳킨슨 지수는 다른 조건이 같을 때 부유한 사람에게서 가난한 사람으로 이루어진 순위 보존 이전이 불평등을 줄인다는 이전 원칙을 반영합니다. 다만 실제 세금과 이전 정책은 행동 변화, 행정비용과 총소득 변화도 만들 수 있으므로 이 단순 계산만으로 정책의 최종 효과를 예측할 수는 없습니다.

가중치가 있는 조사 자료의 계산법

가계조사에서는 표본 한 가구가 모집단의 여러 가구를 대표하므로 조사 가중치를 사용합니다. 각 관측값의 가중치를 wᵢ, 전체 가중치 합을 W=Σwᵢ라고 하면 먼저 가중평균소득을 구해야 합니다. ε≠1일 때 EDE도 같은 가중치를 적용합니다.

μw=Σwᵢyᵢ/W

yₑ,w=[Σwᵢyᵢ^(1-ε)/W]^(1/(1-ε)), ε≠1

yₑ,w=exp[Σwᵢln(yᵢ)/W], ε=1

세계은행의 가계조사 분석 지침도 가구원 수와 표본 가중치를 반영한 가중 EDE를 계산하고, 이를 가중평균으로 나누어 앳킨슨 지수를 구합니다. 단순 표본 평균만 사용하면 인구 규모가 다른 가구와 서로 다른 추출 확률을 제대로 반영하지 못할 수 있습니다. 복합표본 자료에서는 점추정뿐 아니라 표준오차도 조사 설계에 맞게 계산해야 합니다.

0소득과 음수 소득에서 생기는 문제

앳킨슨 지수는 분포 하단에 민감하므로 0에 가까운 값의 처리 방법이 결과를 크게 바꿀 수 있습니다. ε=1에서는 ln(0)을 계산할 수 없고, 극한으로 보면 한 사람이라도 소득이 0일 때 기하평균이 0이 되어 A=1입니다. ε>1에서도 0을 음의 거듭제곱으로 올리는 문제가 생기며 극한의 EDE는 0이 됩니다. 0<ε<1에서는 0의 양의 거듭제곱을 계산할 수 있지만 결과 해석은 여전히 최하단 값에 민감합니다.

음수 소득은 로그와 비정수 거듭제곱이 정의되지 않을 수 있어 일반적인 앳킨슨 공식에 그대로 넣기 어렵습니다. 시장소득이나 자영업소득 자료에는 0과 음수가 실제로 나타날 수 있습니다. 이를 임의의 작은 양수로 바꾸거나 제외하면 지수가 달라지므로, 분석자는 하단 절단·대체 규칙과 민감도 결과를 함께 밝혀야 합니다. UN의 캔버라 가계소득통계 지침도 매우 낮은 소득과 0소득의 처리 방식에 따라 높은 ε의 앳킨슨 지수가 크게 달라질 수 있음을 사례로 보여 줍니다.

앳킨슨 지수와 지니계수의 차이

지니계수는 로렌츠 곡선과 완전평등선 사이의 면적을 바탕으로 분포 전체의 불평등을 하나의 값으로 요약합니다. 표준 지니계수에는 앳킨슨 지수의 ε처럼 분석자가 명시적으로 고르는 불평등 회피 모수가 없습니다. 계산 원리와 로렌츠 곡선의 면적 해석은 지니계수를 0부터 1까지 구하는 방법에서 확인할 수 있습니다.

비교 항목	앳킨슨 지수	지니계수
핵심 개념	등가 균등 소득과 평균소득의 비	로렌츠 곡선과 완전평등선 사이 면적
가치판단 모수	ε를 명시적으로 선택	표준식에는 별도 모수가 없음
민감도	ε가 클수록 분포 하단에 더 민감	분포 중간 부분의 변화에 상대적으로 민감한 것으로 알려짐
해석	선택한 사회후생함수의 불평등 비용	전체 소득쌍 차이 또는 로렌츠 면적
0·음수 처리	특히 ε≥1에서 큰 제약	음수 포함 시 표준 범위와 해석에 문제 발생

두 지표 가운데 하나가 언제나 더 우수한 것은 아닙니다. 지니계수는 널리 알려져 비교하기 쉽고, 앳킨슨 지수는 하단에 둘 가중치와 사회후생 해석을 명시할 수 있습니다. 실무에서는 지니계수와 여러 ε의 앳킨슨 지수를 함께 제시하면 한 지표만으로 놓칠 수 있는 분포 변화를 확인하는 데 도움이 됩니다.

앳킨슨 지수가 만족하는 주요 성질

익명성: 사람의 이름이나 순서를 바꿔도 소득값이 같으면 지수는 변하지 않습니다.
규모 불변성: 모든 소득에 같은 양의 수를 곱해 원에서 만 원으로 단위를 바꾸거나 소득을 비례 확대해도 지수는 같습니다.
복제 불변성: 같은 소득 분포를 그대로 한 번 더 복제해 인구만 늘려도 지수는 같습니다.
이전 원칙: 평균을 유지하면서 부유한 사람에게서 가난한 사람으로 순위 보존 이전이 일어나면 불평등이 낮아집니다.
후생 해석: μ(1-Aε)=yₑ이므로 평균소득과 불평등을 하나의 EDE 값으로 연결할 수 있습니다.

규모 불변성은 같은 비율로 모든 소득이 늘어날 때 상대적 불평등이 변하지 않는다는 뜻입니다. 모든 사람의 소득에 같은 금액을 더하는 경우에는 비율이 달라지므로 지수도 달라질 수 있습니다. 평균을 다룬다고 해서 집단 구성 변화에 언제나 안전한 것도 아닙니다. 사람을 한 집단에서 다른 집단으로 옮길 때 두 집단 평균이 모두 오를 수 있는 사례는 윌 로저스 현상에서 평균이 뒤집히는 계산과 구분해서 봐야 합니다.

국가와 시점을 비교할 때 확인할 항목

같은 ε를 사용했는지 확인합니다. ε가 다르면 같은 불평등 기준의 비교가 아닙니다.
소득 개념이 시장소득·총소득·가처분소득 중 무엇인지 확인합니다.
개인소득인지 가구소득인지, 가구원 수를 등가화했는지 확인합니다.
물가와 구매력 조정은 평균소득 수준 비교에 필요하지만 같은 양의 배율은 지수 자체를 바꾸지 않습니다.
0·음수·극단값 처리와 하단 절단 기준을 확인합니다.
표본 가중치와 복합표본 설계를 반영했는지 확인합니다.
점추정치 차이가 표본오차보다 충분히 큰지 신뢰구간도 함께 살펴봅니다.

집단별 비율을 단순히 합치면 집단 구성의 차이 때문에 전체 결과의 방향이 달라질 수 있습니다. 소득 분포를 지역이나 연령대로 나눠 해석할 때도 각 집단의 인구 비중과 평균소득을 함께 봐야 합니다. 부분집단과 전체의 관계가 달라지는 대표적인 원리는 심슨의 역설에서 가중평균이 뒤집히는 이유에 정리돼 있습니다.

앳킨슨 불평등 지수에 관한 자주 묻는 질문

앳킨슨 지수가 0이면 무엇을 뜻하나요?

ε>0이고 소득이 모두 양수인 일반적인 설정에서는 모든 사람의 소득이 같을 때 지수가 0입니다. 단, ε=0으로 설정하면 분포가 불균등해도 공식상 지수는 항상 0이므로 ε를 반드시 함께 확인해야 합니다.

앳킨슨 지수가 0.3이면 소득 30%를 잃었다는 뜻인가요?

실제 소득이 사라졌다는 뜻은 아닙니다. 선택한 ε와 사회후생함수에서 EDE가 평균소득의 70%라는 뜻입니다. 모든 사람이 그 70%를 동일하게 받는 가상 균등 분포가 현재 분포와 같은 사회후생을 준다고 해석합니다.

ε는 몇으로 설정해야 하나요?

모든 연구에 적용되는 하나의 정답은 없습니다. ε는 가치판단을 반영하는 모수이므로 연구 목적과 근거를 밝혀야 합니다. 0.5, 1, 2처럼 여러 값을 사용한 민감도 분석을 함께 제시하면 특정 ε 선택에 결론이 얼마나 좌우되는지 확인할 수 있습니다.

평균소득이 다른 국가의 앳킨슨 지수를 비교할 수 있나요?

앳킨슨 지수는 상대적 불평등 지표이므로 같은 소득 정의, ε와 자료 처리법을 사용했다면 평균 수준이 달라도 분포의 상대적 불평등을 비교할 수 있습니다. 그러나 생활수준까지 비교하려면 지수만 보지 말고 평균소득이나 EDE도 함께 제시해야 합니다. 평균이 매우 다른 두 국가가 같은 앳킨슨 지수를 가질 수 있기 때문입니다.

소득에 0이 있으면 작은 양수로 바꾸면 되나요?

작은 양수 대체는 가능한 처리 방법 중 하나지만 중립적인 해결책은 아닙니다. 어떤 값을 넣는지에 따라 특히 ε가 큰 지수가 크게 달라질 수 있습니다. 0이 측정오류인지 실제 무소득인지 먼저 확인하고, 대체·제외·하단 절단 등 사용한 규칙과 여러 기준의 민감도 결과를 공개해야 합니다.

앳킨슨 불평등 지수 핵심 정리

앳킨슨 지수는 현재의 불균등한 소득 분포와 같은 사회후생을 주는 등가 균등 소득 yₑ를 먼저 구하고, 이를 평균소득 μ와 비교합니다. 공식은 Aε=1-yₑ/μ입니다. ε≠1에서는 차수가 1-ε인 멱평균이 EDE이고, ε=1에서는 기하평균이 EDE입니다. ε가 커질수록 낮은 소득에 더 큰 가중치가 주어집니다.

계산값에는 소득 분포뿐 아니라 ε의 선택도 들어갑니다. 따라서 지수만 떼어 제시하지 말고 ε, 소득 정의, 가구 등가화 방식, 조사 가중치, 0·음수 소득 처리법을 함께 밝혀야 합니다. 앳킨슨 지수는 평균소득을 대신하는 숫자가 아니라 선택한 사회후생 기준 아래에서 평균과 분배를 EDE로 연결하는 지표입니다.