타로 카드를 처음 손에 쥐면 섞는 것부터 어색해요. 트럼프보다 길고 78장이나 돼서 손에 다 잡히지 않고, 몇 번을 섞어야 하는지도 알 수 없어요. '마음이 멈추라고 할 때까지'라는 조언도 있지만 숫자로 답할 수 있는 부분도 있어요. 카드가 충분히 섞이는 데 필요한 횟수는 수학자들이 이미 계산해 둔 문제예요. 그 결과를 타로 78장에 대입해 보고, 방법별로 얼마나 잘 섞이는지 비교해 볼게요.
78장을 늘어놓는 경우의 수
카드 52장을 늘어놓는 순서는 52×51×50×…×1가지, 약 8.07×10^67가지예요. 타로는 78장이라 약 1.13×10^115가지가 돼요. 116자리 숫자예요. 여기에 카드마다 정방향과 역방향이 있다고 치면 2를 78번 곱한 수가 더 붙어서 약 3.4×10^138가지로 늘어나요. 잘 섞은 타로 한 벌의 순서는 인류가 지금까지 섞은 어떤 덱과도 같을 가능성이 사실상 없어요. 문제는 '잘 섞었다'고 말할 수 있으려면 몇 번을 섞어야 하느냐예요.
'7번이면 충분하다'는 연구
가장 유명한 답은 수학자 데이브 베이어와 퍼시 디아코니스가 1992년에 낸 논문에서 나왔어요. 제목은 '도브테일 셔플을 소굴까지 추적하다'예요. 두 사람은 덱을 반으로 갈라 양손에서 번갈아 떨어뜨리는 리플 셔플을 확률 모형으로 만들고, 섞은 덱이 완전히 무작위인 덱과 얼마나 다른지를 '전변동 거리'라는 값으로 쟀어요. 0이면 완전히 무작위이고 1이면 전혀 섞이지 않은 것이에요.
52장으로 계산한 결과는 이랬어요. 다섯 번 섞을 때까지는 이 값이 1에 가깝게 버텨요. 그러다 일곱 번째에 0.334로 뚝 떨어져요. 이 연구는 논문이 정식으로 실리기 전인 1990년 1월에 뉴욕타임스가 '카드 섞기에서는 7이 이기는 숫자'라는 제목으로 보도하면서 널리 알려졌어요.
이 연구에서 더 쓸모 있는 것은 공식이에요. 카드가 n장일 때 섞임이 급격히 일어나는 지점은 리플 셔플 (3/2)×log₂n번 근처예요. 그보다 적게 섞으면 거의 안 섞인 상태이고, 조금만 넘기면 빠르게 무작위에 가까워져요. 52장이면 이 값이 약 8.6이에요.
두 사람이 쓴 모형에는 이름이 있어요. 길버트-섀넌-리즈 모형이에요. 덱을 가를 때 정확히 반이 아니라 동전을 장수만큼 던져 앞면이 나온 수만큼 갈라지듯 나뉘고, 양쪽 뭉치에 남은 장수에 비례하는 확률로 카드가 떨어진다고 가정해요. 실제 사람이 섞는 모습과 실험적으로 잘 맞는 모형으로 알려져 있어요. 이 모형으로 한 번 섞으면 원래 순서가 그대로 남을 확률이 다른 어떤 순서보다 높아요. 52장이면 53배예요. 한 번 섞은 덱에는 원래 순서의 흔적이 짙게 남는다는 뜻이에요.
타로 78장에 넣어 보면
| 덱 | 장수 | log₂n | (3/2)×log₂n |
|---|---|---|---|
| 트럼프 | 52 | 5.70 | 약 8.6 |
| 타로 | 78 | 6.29 | 약 9.4 |
타로 78장은 기준점이 약 9.4번이에요. 트럼프보다 한 번쯤 더 필요해요. 장수가 1.5배로 늘었는데 필요한 횟수는 한 번 정도밖에 늘지 않는 까닭은 공식에 로그가 들어 있기 때문이에요. 리플 셔플은 한 번 할 때마다 섞임이 곱으로 늘어요. 그래서 타로를 리플로 섞는다면 아홉 번에서 열 번이면 넉넉하다고 볼 수 있어요. 다만 이 숫자는 공식에 78을 넣은 계산이고, 논문이 78장을 따로 다룬 것은 아니에요.
'충분하다'의 기준에 따라 답도 달라져요. 트레페선 부자는 2000년에 다른 기준으로 계산해 52장은 여섯 번이면 된다는 결과를 냈어요. 디아코니스도 나중에 블랙잭 같은 게임은 네 번쯤이면 된다고 말했어요. 타로는 카드의 순서를 두고 돈이 오가는 게임이 아니니 수학적 기준을 꼭 채울 필요는 없어요. 지난번에 뽑은 카드들이 뭉쳐 다니지 않을 만큼만 섞이면 돼요.
일상에서는 이보다 훨씬 적게 섞어도 문제가 없어요. 카드 게임을 다룬 자료들은 친구끼리 하는 놀이라면 리플 두 번에서 네 번, 대부분의 게임에서는 네 번에서 일곱 번이면 충분하다고 봐요. 일곱 번이라는 숫자는 '수학적으로 무작위와 구별하기 어려운 수준'이라는 엄격한 기준에서 나온 것이에요. 타로 한 장 뽑기에 그 기준을 꼭 들이댈 필요는 없지만, 새 덱이나 방금 풀이를 마친 덱이라면 평소보다 넉넉히 섞는 편이 좋아요. 78장 모형에서는 한 번 섞은 뒤에 원래 순서가 그대로 남을 확률이 다른 순서의 79배예요.
섞는 방법 네 가지 비교
| 방법 | 하는 법 | 섞이는 정도 | 타로에 쓸 때 |
|---|---|---|---|
| 리플 셔플 | 반으로 갈라 양쪽에서 번갈아 떨어뜨리기 | 가장 빨라요 | 카드가 휘어서 꺼리는 사람이 많아요 |
| 오버핸드 셔플 | 한 손에 쥐고 다른 손으로 뭉치째 덜어 옮기기 | 느려요 | 카드에 무리가 없어 가장 많이 써요 |
| 힌두 셔플 | 아래에서 뭉치를 빼 위로 올리기 | 오버핸드와 비슷해요 | 긴 카드를 세로로 잡을 때 편해요 |
| 워시 셔플 | 탁자에 펼쳐 놓고 두 손으로 휘젓기 | 약 1분이면 충분해요 | 역방향까지 함께 섞여요 |
오버핸드 셔플은 카드를 뭉치째 옮기기 때문에 붙어 있던 카드가 잘 떨어지지 않아요. 요한 요나손이 2006년에 낸 논문은 오버핸드 셔플로 덱이 섞이는 데 필요한 횟수가 n²×log n에 비례한다는 것을 보였어요. 리플이 log n에 비례하는 것과 견주면 차이가 커요. 장수가 많을수록 격차가 더 벌어지니 78장짜리 타로를 오버핸드로만 섞는다면 생각보다 훨씬 오래 섞어야 해요.
힌두 셔플은 아시아를 비롯한 여러 지역에서 가장 흔한 방식이고, 서양에서는 오버핸드가 주로 쓰여요. 카드를 탁자에 엎어 놓고 휘젓는 워시 셔플은 약 1분이면 통계적으로 무작위가 된다고 알려져 있어요. 타로에서는 카드가 제자리에서 돌기 때문에 역방향이 자연스럽게 섞인다는 장점이 있어요.
카드를 여러 더미로 한 장씩 나눠 놓았다가 합치는 파일 셔플은 섞는 방법이 아니에요. 정해진 순서대로 옮길 뿐이라 무작위성이 전혀 생기지 않아요. 붙어 있던 카드를 떼어 놓는 효과만 있어요. 새 덱을 처음 뜯었을 때나 풀이가 끝난 뒤 뭉친 카드를 흩어 놓는 용도로는 쓸 만하지만 그 뒤에 다른 방법으로 한 번 더 섞어야 해요.
'많이 섞기'와 '잘 섞기'는 달라요
섞는 동작이 정확할수록 오히려 덜 섞이는 경우가 있어요. 덱을 정확히 반으로 갈라 한 장씩 완벽하게 번갈아 끼우는 것을 파로 셔플이라고 해요. 맨 위와 맨 아래 카드가 제자리에 남도록 52장을 이렇게 여덟 번 섞으면 처음 순서로 돌아와요. 마술사들이 쓰는 기술이에요. 무작위는 손이 조금씩 어긋나는 데서 나와요. 서툴게 섞는 편이 수학적으로는 더 잘 섞는 셈이에요.
역방향에 관해서도 알아 둘 점이 있어요. 리플, 오버핸드, 힌두 셔플은 카드의 위아래를 돌리지 않아요. 순서만 바뀔 뿐이에요. 그래서 모든 카드가 한 방향으로 정렬된 덱은 이 세 가지로 아무리 섞어도 역방향이 한 장도 나오지 않아요. 역방향이 섞이려면 일부를 일부러 돌려 넣거나 워시 셔플처럼 카드가 회전하는 방법을 써야 해요.
카드가 상하지 않게 섞는 요령
- 새 덱은 순서대로 정렬돼 있어요. 처음에는 워시 셔플로 1분쯤 휘저어 순서를 깨 주세요.
- 평소에는 오버핸드나 힌두 셔플을 넉넉히 하고, 중간에 덱을 두세 더미로 떼어 순서를 바꿔 쌓아요.
- 리플 셔플을 하고 싶다면 긴 변이 아니라 짧은 변끼리 맞대고, 카드를 높이 꺾지 말고 살짝만 휘어 주세요.
- 역방향을 쓰려면 섞는 도중에 덱의 절반을 180도 돌려 합치거나 워시 셔플을 섞어 주세요.
- 풀이가 끝난 카드는 뽑힌 순서대로 덱 위에 올리지 말고 여러 곳에 나눠 끼워 넣어요.
마지막 항목이 은근히 중요해요. 세 장을 뽑아 본 뒤 그대로 덱 위에 올리고 오버핸드로 몇 번만 섞으면 그 세 장이 붙은 채로 돌아다녀요. 다음 풀이에서 같은 카드가 또 나오면 '카드가 강조한다'고 느끼기 쉬운데, 덜 섞였을 가능성부터 따져 볼 일이에요.
섞은 다음 카드를 뽑는 방법
카드를 뽑는 방식에는 정해진 규칙이 없어요. 흔히 쓰는 방법은 세 가지예요. 덱 맨 위에서 차례로 뒤집는 방법, 탁자에 부채꼴로 펼쳐 놓고 끌리는 카드를 고르는 방법, 덱을 세 더미로 떼어 다시 쌓은 뒤 위에서 뽑는 방법이에요. 웨이트는 켈틱 크로스를 설명하면서 카드를 뒤집은 채 세 번 섞고 세 번 떼라고 적었어요. 충분히 섞인 덱이라면 어느 방법으로 뽑아도 확률은 같아요. 78장 가운데 특정 카드 한 장이 나올 확률은 1/78, 약 1.3%예요.
온라인 타로는 이 과정을 난수로 대신해요. 손으로 섞을 때 생기는 '덜 섞임' 문제가 없다는 점은 오히려 장점이에요. 손맛은 종이 카드가, 공정한 무작위는 프로그램이 더 잘해요. 어느 쪽이든 카드를 섞는 시간은 질문을 가다듬는 시간으로 쓰면 좋아요. 손은 카드를 섞고 머리는 '내가 정말 묻고 싶은 게 뭐지' 하고 문장을 고르는 거예요. 아홉 번이든 1분이든 그 시간이 지나면 덱도 질문도 준비가 돼요.
타로는 재미와 자기 성찰을 위한 놀이예요. 아무리 잘 섞어도 카드가 미래를 알려 준다는 과학적 근거는 없어요. 뽑힌 카드는 생각을 정리하는 실마리로만 써 주세요.